2022年全国高中数学联赛训练题.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高中数学竞赛训练题1设全集I=x,y|x,y R,集合 M=x ,y y31,N=x ,y|y x+1 ,那么 CIM CIN 等于x2()Dx ,y|y=x+1 )A B2 , 3 C (2,3)2函数f x =log1( x2-2x-3 )的单调递增区间是(2A (-, -1)B(-, 1)C (1,+)D(3,+)3设全集是实数集,如A=x|x20,B=x|x 1022=10x,就 A B 是(A 2 B-1 C x|x 2 D4集合 A,B 的并集 AB=a 1,a 2,a 2,当 A B 时,(A,B)与( B,
2、A)视为不同的对,就这样的( A,B)对的个数有()a 的集合是A 8 B9 C 26 D27 5如非空集事A=x|2a+1x 3a-5 ,B=x|3 x22 ,就能使 AA B 成立的全部()A a|1a 9 Ba|6a 9 C a|a9 D6函数fx 1xxx()22A 是偶函数但不是奇函数B是奇函数但不是偶函数C 既是偶函数又是奇函数D既不是偶函数也不是奇函数名师归纳总结 - - - - - - -7设fx是一个函数, 使得对全部整数x 和 y,都有fxy=fx+fy+6xy+1 和fxfx就f3 8假如在区间 1 ,2 上,函数fx=x2 + px +q (p -4, -2 )与gxx
3、1在同一点取相同的最x2小值,那么fx在该区间上的最大值是9一次函数f x =ax+b的图象经过点 (10,13 ),它与 x 轴的交点为 (p ,0),与 y 轴的交点为 (0,q ),其中 p 是质数, q 是正整数,就满意条件全部一次函数为. 10已知fx=sinx+cosx+t为偶函数,且t 满意不等式t2 - 3t -40 0 ,就 t 的值为. 11设 M=1 ,2, , 1995 ,A 是 M 的子集且满意条件:当x A 时, 19xA ,是 A 中元素的个数最多是. 12已知fx的定义在 R 上的函数,f1 =1 且对任意 x R 都有f x5fx+5 f x1 fx+1 如g
4、x=fx +1- x ,就 g2002= . 第 1 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载1 2 1313. 如函数 f x = x 在区间 a ,b 上的最小值为 2a ,最大值为 2b ,求 a ,b. 2 214设 a R,求函数 f x = 2 a x 1在区间 0 1, 上的最大值 . x15设函数 f x =ax 2 + 8x +3 (a0 有定义且取正值,又当 a ,b ,c 为三角形三边时,fa,fb,fc仍可构成三角形的三边长.证明:存在正数A 和 B,使得对一切x0 ,都有fxAx+B. 2 C +1, 就存在 S 中的元
5、21. 如 A 是 S=1,2, , n 的一 k 元子集, m 为正整数 ,满意条件nm-1素 t 1, ,t m ,使得 : 名师归纳总结 A =x+jt |x A,j=1 , , m 中任意两个的交集为空集. 第 2 页,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载a 和 b, 数a2b2都是有22;数集 M 由 2003 个不同的实数组成,对于M 中任何两个不同的元素理数;证明:对于数集M 的任何一个数都是有理数;M=1,1,1;求数集M 的全部含23. 称有限集 S 的全部元素的乘积为的“ 积数”;给定数集23100偶数
6、个元素的子集的“ 积数” 之和;24 设集合Sn,1 2 ,n;假如 X 是 Sn 的子集,把X 中的全部数的和称为的容量(规定空集的容量为 0);假如 X 的容量为奇(偶)数,就称X 为 Sn 的奇(偶)子集;(1);求证: Sn 的奇子集与偶子集个数相等;名师归纳总结 (2);求证:当n3时, Sn 的全部奇子集的容量之和与全部偶子集的容量之和相等;第 3 页,共 32 页(3);当n3时,求 Sn 的全部奇子集的容量之和;25 求y3 x192 x6x51 2x3 4x212x131的图像与 x 轴的交点坐标26设 a 0,rxax21,争论函数rx在0, 上的单调性,最小值,最大值;x
7、27设二次函数fx ax2bxca,b ,cR ,a0满意条件:(1)当xR时,且fx4f2x,fx0;(2)当x0 ,2 时,f x x2212;(3)在 R 上的最小值为0;求最大的 mmR ,使得存在tR,只要x,1m,就有fxtx 28设 f 为RR的函数,对任意的正实数x,f3x3fx ,且fx1x2,1x3 求最小的实数 x,使得fxf2004 ). 29. k 是实数,fxx4kx21, 对任意三个实数a,b,c, 存在一个以为fa, fb, fc 三边长x4x21的三角形,求k 的取值范畴;30. 设N是 非 负 整 数 集 ,f :NN是 一 个 函 数 , 使 得 对 任
8、意nN, 都 有f 2 n1 2f2 n 26fn 1f nfn问:fN中有多少个元素小于2003 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 31. 已知二次函数fx x2axb优秀学习资料欢迎下载 a ,bR 名师归纳总结 - - - - - - -(1);如方程fx0无实根,求证:b 0. 2. 如方程f x0有两实根,且两实根是相邻的两个整数,求证:fa1a21 ;4(3);如方程fx0有两个非整数实根,且这两实根都在相邻的两个整数之间,求证: 存在整数k,使得fk1成立;4(4);如方程fx0有两个非整数实根,且这两实根在相邻的两个整数之间,请你探
9、求当a,b 满意什么条件时,肯定存在整数k,使得fk1成立;432设nN,nsin1 5 cos1+1 ,就 n 的最小值是 A. 4 B . 5 C. 6 D. 7 33. M . N 在 Rt ABC 的斜边 AB 上,AM1,AN3,那么 M , N 两点分别到两直角边的距离MB4NB2之和与ABC 的周长之比的最大可能值是()A 1043B;1043C ;16D;21555534 假如函数f x sinnxsinnxn coscos nxn cos2x ,对任意xR 都使fx为常数,就正整数 n 应为()A 1 B;3 C ;3 或 1 D;不存在35 关于x 的方程22 cos 22
10、xx2a3sin2 2xx 21至少有一个解,就实数a 取值范畴是()A. (-1,2 )B .(-1,2)C; -1 ,2 D;-1 ,2 36设fx=x2x,arcsin1,arctan5,arccos1,arccot5,那么3434A ffffBffffC ffffDffff37. 锐角,满意b B. a0 恒成立,求47R 上的奇函数fx在0 ,上是递增的,且fcos23f4m实数 m 的取值范畴;48 ABC 的内角满意a2 cosAbsinA,1a2 cosBbsinB,1a cos2C+bsinC=1,试判定ABC 的外形 . 名师归纳总结 49平面上四边形ABCD 中, AB=
11、3 ,AD=CD=BC=1, ABD 和 BCD 的面积分别为S、 T,求第 5 页,共 32 页S 2+T 2 的最大值和最小值. 50体积为 V 的圆锥体中,求侧面积的最小值. 51设 0x2,求证:2cosxsinx.1coxxMPN1.52已知 x, y,z0,2,x+y+z=2,求 tanxtanytanz的最大值 . 53aiRi2,1 ,3, 4 ,i4111ia1,求a 1 a2a 3a 4的最小值 . 2xx2yy ,54求方程组2yy2zz ,的实数解.2zz2xx55化简n1tanktank1 k,kZ.k156 过锐角ABC 的重心 G 作 AB、BC 、AC 的垂线,
12、垂足为M 、 N、 P.求证:4SSABC27457P 是 ABC 的内心, R、r 分别为ABC 外接圆和内切圆半径. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载求证:6 PA+PB+PC 3R. 58 P 是 ABC 的垂心,以 BC 、AC 、AB 为直径向外作三个半圆,分别与高 AD 、BE、CF 延长线交于 G 、H、L.求证:AD BE CF . DG EH FL59P 在 ABC 内,求证:a cos A b cos B cos CPAsinA+PB sinB+PC sinC. 60P 在 ABC 内, AP、BP、CP 与
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