线性代数LinearAlgebra刘鹏.ppt
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1、线性代数LinearAlgebra刘鹏 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望问题问题问题问题:非齐次非齐次非齐次非齐次线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 AX=bAX=b 的所有解向量的所有解向量的所有解向量的所有解向量 是否构成是否构成是否构成是否构成 R Rn n 上的线性空间?上的线性空间?上的线性空间?上的线性空间?否,因为对线否,因为对线否,因为对线否,因为对线性运算不封闭:性运算不封闭:性运算不封闭:性运算不封闭:设设设设 X X1 1
2、 X X1 1 是解是解是解是解向量,则向量,则向量,则向量,则 对加法运算不对加法运算不对加法运算不对加法运算不封闭,因此不能封闭,因此不能封闭,因此不能封闭,因此不能构成构成构成构成 R Rn n 上的上的上的上的 线性空间线性空间线性空间线性空间.三、过渡矩阵与三、过渡矩阵与三、过渡矩阵与三、过渡矩阵与坐标变换公式坐标变换公式坐标变换公式坐标变换公式 定义定义定义定义 4.64.64.64.6:设设设设 1 1,2 2,.,.,n n 和和和和 1 1,2 2,.,.,n n 是是是是 n n 维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间 V V 中的两个基,且有中的两个基,且有中的两个基,
3、且有中的两个基,且有:则称矩阵则称矩阵则称矩阵则称矩阵 MM 为由基为由基为由基为由基 1 1,2 2,.,.,n n 到到到到 基基基基 1 1,2 2,.,.,n n 的的的的过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵(transition matrix)(transition matrix).定理定理定理定理 4.34.34.34.3:设设设设 1 1,2 2,.,.,n n 和和和和 1 1,2 2,.,.,n n 是是是是 n n 维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间 V V 中的两个基,且有中的两个基,且有中的两个基,且有中的两个基,且有:则则则则(1)过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵
4、M M M M 是可逆的;是可逆的;是可逆的;是可逆的;(2)(2)若若若若 V V,且在基,且在基,且在基,且在基 1 1,2 2,.,.,n n 和和和和 1 1,2 2,.,.,n n 下的坐标分别为下的坐标分别为下的坐标分别为下的坐标分别为 x x x x1 1 1 1,x,x,x,x2 2 2 2,.,x,.,x,.,x,.,xn n n n T T 和和和和 xxxx1 1 1 1,x,x,x,x2 2 2 2,.,x,.,x,.,x,.,xn n n n T T ,则有,则有,则有,则有四、线性子空间的维数与基四、线性子空间的维数与基四、线性子空间的维数与基四、线性子空间的维数与
5、基 基基基基/维数维数维数维数/坐标等概念也可以应用到线性子空间坐标等概念也可以应用到线性子空间坐标等概念也可以应用到线性子空间坐标等概念也可以应用到线性子空间定理定理定理定理 4.44.44.44.4:设设设设 1,1,2 2,.,.,l l 与与与与 1 1,2 2 ,.,.,s s 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V V V 中的两个向量组。中的两个向量组。中的两个向量组。中的两个向量组。(1)(1)L(L(1,1,2 2,.,.,l l )=L()=L(1 1,2 2 ,.,.,s s )的充分必要条件的充分必要条件的充分必要条件的充分必要条件是是是是 1,1,2 2,.
6、,.,l l 与与与与 1 1,2 2 ,.,s s 等价等价等价等价;(2)(2)L(L(1,1,2 2,.,.,l l )的维数等于向的维数等于向的维数等于向的维数等于向量组量组量组量组 1,1,2 2,.,.,l l 的秩的秩的秩的秩.4.3 4.3 欧几里德欧几里德(Euclid)(Euclid)空间空间一、欧几里德空间的定义及基本性质一、欧几里德空间的定义及基本性质一、欧几里德空间的定义及基本性质一、欧几里德空间的定义及基本性质 定义定义定义定义 4.74.74.74.7:引入引入引入引入内积内积内积内积后后后后的有限维的有限维的有限维的有限维实实实实线性空间线性空间线性空间线性空间
7、 就是就是就是就是欧氏空间欧氏空间欧氏空间欧氏空间.常定义内积常定义内积常定义内积常定义内积 (inner/(inner/dotdot/scalar scalar product)product)如下如下如下如下实数实数实数实数 内积的基本性质内积的基本性质内积的基本性质内积的基本性质:(1)(1)(1)(1)(,)=(,)=(,)=(,)=(,)(,)(,)(,);(2)(2)(2)(2)(k,)=(k,)=(k,)=(k,)=k(,)k(,)k(,)k(,);(3)(3)(3)(3)(+,)=(,)+(+,)=(,)+(+,)=(,)+(+,)=(,)+(,)(,)(,)(,);(4)(4
8、)(4)(4)(,)0(,)0(,)0(,)0,当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当=0=0=0=0 时时时时(,)=0)=0)=0)=0.对称性(2、3)线性性恒正性二、二、二、二、向量的长度与夹角向量的长度与夹角 有了内积的定义,可以进一步给出欧氏空间内有了内积的定义,可以进一步给出欧氏空间内有了内积的定义,可以进一步给出欧氏空间内有了内积的定义,可以进一步给出欧氏空间内 向量的长度向量的长度向量的长度向量的长度与与与与向量间夹角向量间夹角向量间夹角向量间夹角的定义的定义的定义的定义.定义定义定义定义 4.84.84.84.8:设设设设 是欧氏空间是欧氏空间是欧氏空间是欧氏空间 V V V V
9、 的一个向量的一个向量的一个向量的一个向量,称称称称非负实数非负实数非负实数非负实数为向量为向量为向量为向量的的的的长度长度长度长度(lengthlength)或或或或模模模模或范数或范数或范数或范数(norm(norm,2 2范数范数范数范数),记为,记为,记为,记为:长度为长度为长度为长度为1 1 1 1的向量的向量的向量的向量:单位向量单位向量单位向量单位向量.有了范数就可以度量:度量向量间距离的有了范数就可以度量:度量向量间距离的有了范数就可以度量:度量向量间距离的有了范数就可以度量:度量向量间距离的远近,远近,远近,远近,度量向量的度量向量的度量向量的度量向量的长度长度长度长度,度量
10、误差的大小,度量误差的大小,度量误差的大小,度量误差的大小.长度的基本性质:长度的基本性质:长度的基本性质:长度的基本性质:(3)(3)三角不等式三角不等式三角不等式三角不等式:|+|+|.(1)(1)正定性正定性正定性正定性:|0;0;且且且且|=0|=0 =;(2)(2)齐次性齐次性齐次性齐次性:|k k|=|=|k k|(|(k k R);R);定理定理定理定理 4.54.54.54.5:柯西柯西柯西柯西施瓦茨不等式施瓦茨不等式施瓦茨不等式施瓦茨不等式(Cauchy-Cauchy-Schwartz InequalitySchwartz Inequality):):对于欧氏空间对于欧氏空间
11、对于欧氏空间对于欧氏空间 V V V V 中任意两个向量中任意两个向量中任意两个向量中任意两个向量 ,恒有,恒有,恒有,恒有当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当 与与与与 线性相关时等号成立线性相关时等号成立线性相关时等号成立线性相关时等号成立.定义定义定义定义 ,的的的的夹角夹角夹角夹角为为为为 =arccos(,)|,0 定义定义定义定义 4.94.94.94.9:设设设设 ,是欧氏空间中的两个是欧氏空间中的两个是欧氏空间中的两个是欧氏空间中的两个非零向量非零向量非零向量非零向量 定义定义定义定义 4.104.104.104.10:若若若若(,)=0,)=0,即即即即 =/2,/2,则称则称则
12、称则称 与与与与 正交或垂直正交或垂直正交或垂直正交或垂直 ,记为,记为,记为,记为 .三、内积的坐标表示三、内积的坐标表示 设设设设 V V 是一个是一个是一个是一个 n n 维欧氏空间,在维欧氏空间,在维欧氏空间,在维欧氏空间,在 V V 中任意取定中任意取定中任意取定中任意取定 一个基一个基一个基一个基 1 1,2 2,.,.,n n ,对,对,对,对 V V 中任意两个向量中任意两个向量中任意两个向量中任意两个向量 ,有有有有 有了内积的定义,线性空间中的基、维数、有了内积的定义,线性空间中的基、维数、有了内积的定义,线性空间中的基、维数、有了内积的定义,线性空间中的基、维数、坐标坐标
13、坐标坐标等概念也可以应用于欧氏空间等概念也可以应用于欧氏空间等概念也可以应用于欧氏空间等概念也可以应用于欧氏空间.由内积的性质由内积的性质由内积的性质由内积的性质 利用矩阵可表示为利用矩阵可表示为利用矩阵可表示为利用矩阵可表示为 其中其中其中其中 矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 称为基称为基称为基称为基 1 1,2 2,.,.,n n 的的的的 度量矩阵度量矩阵度量矩阵度量矩阵 (metric matrix)(metric matrix).由定义,度量矩阵是实对称阵,由定义,度量矩阵是实对称阵,由定义,度量矩阵是实对称阵,由定义,度量矩阵是实对称阵,度量矩阵的对角线元素恒正度量矩阵的对角线元素恒正度
14、量矩阵的对角线元素恒正度量矩阵的对角线元素恒正.A A 是基中各个向量的内积构成的,度量矩阵确定是基中各个向量的内积构成的,度量矩阵确定是基中各个向量的内积构成的,度量矩阵确定是基中各个向量的内积构成的,度量矩阵确定 后,后,后,后,V V 中任意两个向量的内积可由它们的坐标决定中任意两个向量的内积可由它们的坐标决定中任意两个向量的内积可由它们的坐标决定中任意两个向量的内积可由它们的坐标决定.例:例:例:例:设设设设 1 1,2 2,3 3,4 4 是欧氏空间是欧氏空间是欧氏空间是欧氏空间V V 中中中中的一个基,的一个基,的一个基,的一个基,其度量矩阵为其度量矩阵为其度量矩阵为其度量矩阵为且
15、且且且V V 中两个向量中两个向量中两个向量中两个向量求求求求|2 2|和和和和 (,).解:由度量矩阵的定义解:由度量矩阵的定义解:由度量矩阵的定义解:由度量矩阵的定义 由由由由(3.8)(3.8)(3.8)(3.8)式式式式 如果如果如果如果基基基基中向量两两正交,度量矩阵变为对角阵;中向量两两正交,度量矩阵变为对角阵;中向量两两正交,度量矩阵变为对角阵;中向量两两正交,度量矩阵变为对角阵;如果如果如果如果基基基基中向量不仅两两正交,而且中向量不仅两两正交,而且中向量不仅两两正交,而且中向量不仅两两正交,而且长度为长度为长度为长度为1 1 度量矩阵变为单位阵度量矩阵变为单位阵度量矩阵变为单
16、位阵度量矩阵变为单位阵 内积计算大大简化内积计算大大简化内积计算大大简化内积计算大大简化.四、标准正交基四、标准正交基 线性空间线性空间线性空间线性空间内内内内任一向量任一向量任一向量任一向量可由可由可由可由基和坐标基和坐标基和坐标基和坐标线性表示;线性表示;线性表示;线性表示;基作为度量标准基作为度量标准基作为度量标准基作为度量标准,首先必需满足:,首先必需满足:,首先必需满足:,首先必需满足:(1)(1)组成向量组成向量组成向量组成向量线性无关;线性无关;线性无关;线性无关;(2)2)空间中任一向量都可由基线性空间中任一向量都可由基线性空间中任一向量都可由基线性空间中任一向量都可由基线性表
17、示表示表示表示.基作为度量标准基作为度量标准基作为度量标准基作为度量标准,本身应该尽可能简洁本身应该尽可能简洁本身应该尽可能简洁本身应该尽可能简洁。普通基不满足:表示不方便,计算不方便,普通基不满足:表示不方便,计算不方便,普通基不满足:表示不方便,计算不方便,普通基不满足:表示不方便,计算不方便,计算不稳定计算不稳定计算不稳定计算不稳定.而而而而标准正交基标准正交基标准正交基标准正交基类似于几何空间中的直角坐标系:类似于几何空间中的直角坐标系:类似于几何空间中的直角坐标系:类似于几何空间中的直角坐标系:表示方便,计算方便,计算稳定表示方便,计算方便,计算稳定表示方便,计算方便,计算稳定表示方
18、便,计算方便,计算稳定.后面我们会看到,在后面我们会看到,在后面我们会看到,在后面我们会看到,在标准正交基标准正交基标准正交基标准正交基下,内积、下,内积、下,内积、下,内积、范数、度量矩阵等都具有简单的形式;范数、度量矩阵等都具有简单的形式;范数、度量矩阵等都具有简单的形式;范数、度量矩阵等都具有简单的形式;标准正交基标准正交基标准正交基标准正交基是基的一种,所以任一向量是基的一种,所以任一向量是基的一种,所以任一向量是基的一种,所以任一向量 ,总能用总能用总能用总能用标准正交基标准正交基标准正交基标准正交基线性表示线性表示线性表示线性表示.例如:例如:例如:例如:(1 0 01 0 0)(
19、)()()(1 1 01 1 0)(1 1 11 1 1)与与与与 (1 0 01 0 0)()()()(0 1 00 1 0)(0 0 10 0 1)定义定义定义定义 4.114.114.114.11 在欧氏空间在欧氏空间在欧氏空间在欧氏空间 V V V V 中,一组非零向量,如果中,一组非零向量,如果中,一组非零向量,如果中,一组非零向量,如果它们它们它们它们两两正交两两正交两两正交两两正交(mutually orthogonal)(mutually orthogonal),就称它为,就称它为,就称它为,就称它为正交向量组正交向量组正交向量组正交向量组。例如例如例如例如 R R n n 的
20、标准基的标准基的标准基的标准基 (e(e1 1,e,e2 2,.,e,.,en n)例如例如例如例如1 12 2 1 1 1 1 1 1 1 11 10 0 1 1 证明:作正交向量组证明:作正交向量组证明:作正交向量组证明:作正交向量组 1 1,2 2,mm的线性组合,使得的线性组合,使得的线性组合,使得的线性组合,使得 用用用用 j j 对等式作内积,因为对等式作内积,因为对等式作内积,因为对等式作内积,因为定理定理定理定理 4.64.64.64.6 设设设设 1 1,2 2,m m (m(m n)n)是是是是 n n 维欧氏空间维欧氏空间维欧氏空间维欧氏空间 V V V V 中的一组正交
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