第一章 鞅 第三节 离鞅的基本不等式.doc
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1、第三节 离散鞅的基本不等式定义1-3-1 若为可积适应序列,且对每个则称为鞅差(或下鞅差)序列。命题1-3-1 若为鞅(或下鞅),则为鞅差(或下鞅差)序列。反之,为鞅差(或下鞅差)序列,则为鞅(或下鞅)。证明:设为鞅序列,则又设为鞅差,则故为鞅。(习题1-3-1,证明下鞅差的情形)定义1-3-2 设随机序列,若,且当时,则称为可料的。定义1-3-3(鞅变换) 若,为随机变量序列,定义新的序列 (1-3-1)则记。定理1-3-1 若为鞅(下鞅),为可料的(非负可料的),则是鞅(下鞅)。证明:由式(1-3-1)可知,是对可测的,因而是适应的,又因为,所以,所以是鞅(下鞅)。(习题1-3-2,证明下
2、鞅的情形)。 END推论1-3-1 若为鞅(下鞅),为停时,则必是鞅(下鞅)。证明:取则。因为,所以 ,故是可料的,非负有下界的。若若,则所以,故为鞅。(习题1-3-3 证明下鞅的情形)END定理1-3-2 (有界停时定理)设为下鞅(鞅),,为有界停时,且,则 。证明:设,则是非负可料的,所以是下鞅(鞅)。实际上,在推论1-3-1中我们已经证明了,故,从而。同时,我们令,故。此外,因为,所以,于是 (3-2)任取,记和为和在上的限制,另取,则是有界停时(习题1-3-4),且,则,将替代不等式(3-2)中的,得到,由条件期望的定义可知(习题1-3-4 证明鞅的情况)END推论1-3-2 设为下鞅
3、(鞅),,为有界停时,则 证明:因为,为有界停时,所以也是有界停时,于是因为,由定理1-3-2知,所以时,当时,所以END推论1-3-3 设为下鞅(鞅),则证明: 因为,由定理1-3-2知 又因为,定理1-3-2知所以 又再令,由引理得。END定理1-3-3 (极值不等式)设为下鞅,则对有 () () ()证明:取,则为停时,由定理1-3-2知,于是得 取,则也是停时,且,同样有定理1-3-2知 故 (习题1-3-5证明()式)END推论1-3-4 设为鞅,则证明:因为是鞅,为下鞅,故注1-3-1 机序列,记定理1-3-4 设为非负下鞅,是上的任意非降右连续函数,,则有证明:因为 所以 时, 令,对上式从1到求和,得 定理1-3-5 设为非负下鞅,则对任意的,有证明:令则,取,由定理1-3-4知,于是 得 若有界,则,得对一般的,令为非负下鞅,有式子令,则得
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- 第一章 第三节 离鞅的基本不等式 三节 基本 不等式
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