1993考研数二真题及解析.pdf
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1、欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)0limlnxxx.(2)函数()yy x由方程222sin()0 xxyexy所确定,则dydx.(3)设11()(2)(0)xF xdt xt,则函数()F x的单调减少区间是.(4)tancosxdxx.(5)已知曲线()yf x过点1(0,)2,且其上任一点(,)x y处的切线斜率为2ln(1)xx,则()f x.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3
2、 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当0 x 时,变量211sinxx是 ()(A)无穷小 (B)无穷大(C)有界的,但不是无穷小 (D)有界的,但不是无穷大(2)设2|1|,1,()1 2,1,xxf xxx 则在点1x 处函数()f x ()(A)不连续 (B)连续,但不可导(C)可导,但导数不连续 (D)可导,且导数连续(3)已知2,01,()1,12,xxf xx 设1()()xF xf t dt(02)x,则()F x为 ()(A)31,013,12xxxx (B)311,0133,12xxxx(C)31,01
3、31,12xxxx (D)311,01331,12xxxx(4)设常数0k,函数()lnxf xxke在(0,)内零点个数为 ()欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!(A)3 (B)2 (C)1 (D)0(5)若()()f xfx,在(0,)内()0,()0fxfx,则()f x在(,0)内 ()(A)()0,()0fxfx (B)()0,()0fxfx(C)()0,()0fxfx (D)()0,()0fxfx 三、(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.)(1)设2sin()yf x,其中f具有二阶导数,求22d ydx.
4、(2)求2lim(100)xxxx.(3)求401cos2xdxx.(4)求30(1)xdxx.(5)求微分方程2(1)(2cos)0 xdyxyx dx满足初始条件01xy的特解.四、(本题满分 9 分)设二阶常系数线性微分方程xyyye的一个特解为2(1)xxyex e,试确定常数,并求该方程的通解.五、(本题满分 9 分)设平面图形A由222xyx与yx所确定,求图形A绕直线2x 旋转一周所得旋转体的体积.六、(本题满分 9 分)作半径为r的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h为何值时,其体积V最小,并求出该最小值.七、(本题满分 6 分)设0 x,常数ae,证明()aa xaxa.八、(本题
5、满分 6 分)设()fx在0,a上连续,且(0)0f,证明:20()2aMaf x dx,其中0max|()|x aMfx.欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】0【解析】这是个0型未定式,可将其等价变换成型,从而利用洛必达法则进行求解.000021lnlimlnlimlimlim011xxxxxxxxxxx 洛.(2)【答案】222222 cos()2 cos()2xyexxyyxyxy【解析】这是一个由复
6、合函数和隐函数所确定的函数,将方程222sin()0 xxyexy两边对x求导,得 222cos()(22)20 xxyxyyeyxyy,化简得 222222 cos()2 cos()2xyexxyyyxyxy.【相关知识点】复合函数求导法则:如果()ug x在点x可导,而()yf x在点()ug x可导,则复合函数()yf g x在点x可导,且其导数为()()dyf ug xdx 或 dydy dudxdu dx.(3)【答案】104x【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性.欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!将函数1
7、1()(2),xF xdtt两边对x求导,得 1()2F xx.若函数()F x严格单调减少,则1()20F xx,即12x.所以函数()F x单调减少区间为104x.【相关知识点】函数的单调性:设函数()yf x在,a b上连续,在(,)a b内可导.(1)如果在(,)a b内()0fx,那么函数()yf x在,a b上单调增加;(2)如果在(,)a b内()0fx,那么函数()yf x在,a b上单调减少.(4)【答案】1/22cosxC【解析】32tansinsincoscoscoscosxxdxdxxxdxxxx 3122coscos2cosxdxxC.(5)【答案】222111(1)
8、ln(1)222xxx【解析】这是微分方程的简单应用.由题知 2ln(1)dyxxdx,分离变量得 2ln(1)dyxxdx,两边对x积分有 2221ln(1)ln(1)(1)2yxxdxxd x.由分部积分法得 2222221112ln(1)(1)(1)ln(1)(1)2221xxd xxxxdxx 222221(1)ln(1)211(1)ln(1).22xxxdxxxxC 因为曲线()yf x过点1(0,)2,故12C ,所以所求曲线为 222111(1)ln(1)222yxxx.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(D)欢迎您阅读并下载本文档,本
9、文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!【解析】因为当0 x 时,1sinx是振荡函数,所以可用反证法.若取 11kxk,则221111sin()sin0kkkkxx,211(2)2kxk,则22222111sin(2),(1,2,)2kkkkxx.因此,当k 时,有10kx及20kx,但变量211sinxx或等于 0 或趋于,这表明当0 x 时它是无界的,但不是无穷大量,即(D)选项正确.(2)【答案】(A)【解析】利用函数连续定义判定,即如果函数在0 x处连续,则有 000lim()lim()()xxxxf xf xf x.由题可知 221111|1|1lim(
10、)limlimlim(1)211xxxxxxf xxxx,221111|1|1lim()limlimlim(1)211xxxxxxf xxxx .因()f x在1x 处左右极限不相等,故在1x 处不连续,因此选(A).(3)【答案】(D)【解析】这是分段函数求定积分.当01x时,01xt,故2()f tt,所以 23311111()()(1)33xxxF xf t dtt dttx.当12x时,12,tx 故()1f t,所以 111()()11xxxF xf t dtdttx.应选(D).(4)【答案】(B)【解析】判定函数()f x零点的个数等价于判定函数()yf x与x的交点个数.对函数
11、()lnxf xxke两边对x求导,得 11()fxxe.令()0fx,解得唯一驻点xe,欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!即 ()0,0;(),()0,;(),fxxef xfxexf x 严格单调增加严格单调减少 所以xe是极大值点,也是最大值点,最大值为()ln0ef eekke.又因为 00lim()lim(ln)lim()lim(ln)xxxxxf xxkexf xxke ,由连续函数的介值定理知在(0,)e与(,)e 各有且仅有一个零点(不相同).故函数()lnxf xxke在(0,)内零点个数为 2,选项(B)正确.(5
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