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1、第2讲 判别式及其应用当数学家导出方程式和公式,如同看到雕像、美丽的风景,听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。 柯普宁知识方法扫描在一元二次方程ax2+bx+c=0中,=b2-4ac称为根的判别式。当0时,方程有两个不相等的实数根;当=0时,方程有两个相等的实数根;当0,证明:在方程中,至少有两个方程有两个不相等的实数根.证明 设这四个方程的判别式分别为1、2、3、4。则1+3=(2a+b-2)+ (2c+d-2)= (a+b-2) + (c+d-2)+a+b=()2+()2+a+b0 同理,2+40,故1、2、3、4中至少有两个大于零,即所得四个方程中至少有两个方程有不相等的实数根.例4
2、 (1998年山东省初中数学竞赛试题)当x为何有理数时,代数式9x2+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积?解 设两连续正偶数为k、k+2,则有9x2+23x-2=k (k+2), 即9x2+23x-(2+k2+2k)=0由于x是有理数,所以判别式为完全平方,即:=232+49(k2+2k-1+1)=565+6(k+1)2令=p2 (p0),有p2-6(k+1)2=565=1135=5651,p+6(k+1)p-6(k+1)=1135=5651.p0,k0, 即得:,解之,k=46,代入原方程解得:x=-17或x=。或,解之,k=8,代入原方程解得:x=2或x=-总之,当x=-17,或x=,
3、或x=2,或x=-时,9x2+23x-2恰为两正偶数8和100或者46和48的乘积例5 (1996年黄冈市初中数学竞赛试题)若实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=2,c0则( )。(A) ab0 (B) |a|+|b|2 (C) |a|+|b|4 (D) |a|+|b|1解 由已知条件得 a+b=-c0, 故a,b同为负数。于是a,b是关于x 的一元二次方程 x2+cx+=0 的二根。=c2-40, 因c0, 故 c3-80,c2. |a|+|b| = -a-b = c2. 故选(B)。 例6 (1993年全国初中数学联赛试题)当x变化时,分式的最小值是_.解 令 y=,因 x2+2x+
4、2=(x+1)2+10, 去分母整理得(6-y)x2+(12-2y)x+10-2y=0显然y6, 将上面的等式看作是关于x的一元二次方程,因x为实数。所以=(12-2y)2-4(6-y) (10-2y) 0, 即 (y-6)(y-4)0,于是 4y6。当y=4,x=1时,所以当x=1时,分式有最小值4。例7(2002年“我爱数学夏令营”数学竞赛试题)已知a、b、c是三个两两不同的奇质数,方程(b+c)x2+(a+1)x+225=0有两个相等的实数根。 (1)求a的最小值; (2)当a达到最小值时,解这个方程解(1)判别式= (a+1)25-4225(b+c). 依题意,判别式=0,即 (a+1
5、)2=22325(b+c).故 5(b+c)应为完全平方数,且为偶数,要使a为最小值,必有5(b+c)=5222。因此,(a+1)2=243252。即a+1的最小值为60,从而a的最小值为59。(2)当a=59时,b+c=20。应取b=3, c=17,原方程为20x2+60. 解得x=例8 若a,b,c,x,y,z,均为实数,求证: (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) (ax+by+cz)2证明 若a=b=c=0, 不等式显然成立。若a,b,c不全为0, 构造一个关于t的一元二次方程:(a2+b2+c2)t2-2(ax+by+cz)t+(x2+y2+z2) = 0 (*)方程(*)的左边
6、为 (at-x) 2+(bt-y) 2+(ct-z) 2, 若(at-x) 2,(bt-y) 2,(ct-z) 2三式中有一个不为0,则(at-x) 2+(bt-y) 2+(ct-z) 20, 方程(*)无实根;若(at-x) 2=(bt-y) 2=(ct-z) 2=0,则 at-x= bt-y= ct-z。此时有 t =, 即只有一个数满足方程(*),方程有二相等的实数根。于是=4(ax+by+cz)2-4 (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) 0, 即 (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) (ax+by+cz)2。同步训练一 选择题1(1998年江苏省初中数学竞赛试题)已知a,b,
7、c是不全为0的三个实数,那么关于x的方程x2+(a+b+c)x+(a2+b2+c2)=0的根的情况是( )(A) 有两个负根(B)有两个正根(C)有两个异号的实根(D)无实根2(2002年四川省初中数学竞赛试题)关于x的两个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0,x2+(2m+1)x+m2=0中至少有一个方程有实根,则m的取值范围是( )(A)-m- (B)m-或m- (C)-mM B、=M C、M D、不能确定4(2004年全国初中数学竞赛预选赛湖北赛区试题)已知a、b、c均为正数,方程ax2+bx+c=0有实根,则方程acx2+b2x+ac=0( )(A)有两个不相等的正根 (B)有一个正
8、根,一个负根(C)不一定有实根 (D)有两个不相等的负根5(2004年全国初中数学联合竞赛试题)已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一个实数根,则ab的取值范围为( )(A) (B) (C) (D) 二 填空题6(1994年北京市初中数学竞赛题)已知二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,那么 7(1996年学习报初中数学竞赛试题)若二次方程组有惟一解,则k 的所有可能取值为 。8(2001年全国初中数学竞赛试题)已知实数a、b满足a2+ab+b2=1, 且t=ab-a2-b2, 那么t的取值范围是 。9(2004年太原市初中数学竞
9、赛试题)已知k为整数,若关于x的二次方程kx2+(2k+3)x+1=0有有理根,则k的值是_.10(1998年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题)如果方程 x4+6x3+9x2-3px2-9px+2p2=0有且只有一个实数满足,则p的值为 三 解答题11(2002年湖北省初中数学竞赛试题)已知关于x的方程(1) 求证:无论k取何实数值,方程总有实数根;(2) 若等腰三角形ABC的一边长a=6,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根,求此三角形的周长。12(1997年山东省初中数学竞赛试题)设a,b,c为互不相等的非零实数,求证三个方程:ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0, cx2+2ax
10、+b=0,不可能都有两个相等的实数根。13(1994年福州市初二数学竞赛试题)当m是什么整数时,关于x的方程x2-(m-1)x+m+1=0的两根都是整数?14(1994年武汉市初中数学竞赛试题)设正整数a、b、c、d满足下列条件:a+b=71, cd=1155, ab+c+d=1660, 试求|a-b|的值15(2000年“我爱数学”夏令营数学竞赛试题)已知m、n为整数,方程x2+ (n-2) 有两个不相等的实数根,方程x2- (n-6)有两个相等的实数根。求n的最小值,并说明理由。同步训练题参考答案1D=(a+b+c)2-4(a2+b2+c2)=- (a2+b2+c2)+(a-b)2+(b-
11、c)2+(c-a)22ac, b2-2ac0在方程acx2+b2x+ac=0中,2=b4-4a2c2=( b2+2ac) ( b2-2ac) 0,故其有两个不相等的实数根。 又此方程的系数都是正数,故其不能有不小于0的实数根。所以它的两根都是负数。5B因方程有实数解,故b2-4ac0。由题意,有或令得方程 2au2-u+b=0或2au2+u+b=0。因u=b2-4ac是其根,所以方程的判别式非负,即1-8ab0,即。61 因已知的二次方程各项系数之和为零,故x=1是方程的一个根,又因方程有两等根,所以另一个根也为1 由韦达定理,得:a+b=ab, 故71由方程组消去y, 得(1-k2) x2+
12、(4k2-2k) x-4k2+4k-2=0.若1-k2=0, 即k=1, 则或若1-k20,即k1, 则= (4k-2k2)-4 (1-k2) (-4k2+4k-2) = 4(3k2-4k+2) =0, 但 3k2-4k+2=0无实数解。8. 将a2+ab+b2=1, ab-a2-b2=t两式两端分别相加,得:2ab=t+1, ab=,又(a+b)2=a2+ab+b2=1+ab=0,t-3, 且a+b=, 于是,可知a、b是关于x的方程x2的两个实数根,=0,解之,t。 综上可知, t的取值范围是-3t9-2方程有有理根,判别式1=(2k+3)2-4k为完全平方数.设(2k+3)2-4k=m2
13、(m为正整数),即4k2+8k+9-m2=0 将式看作关于k的二次方程,由题设知有整数根,故式的判别式2=64-16(9-m2)=16(m2-5)应为完全平方数.而16是完全平方数,令m2-5=n2(n为正整数,且mn),则有(m+n)(m-n)=5。, 解得 将m=3代入式得k=-2或k=0(舍去),k=-2.10. 方程可化为(x2+3x-2p) (x2+3x-p)=0,所以 x2+3x-2p=0 或 x2+3x-p=0 由于只有一个实数满足方程,这个p的值由的0, 的=0 或的=0, 的0 来确定。于是得不等式组(I) (II)(I)的解是 p=,(II)无解,所以p=。11. (1)
14、=-(3k+1)2-4(2k2+2k)=(k-1)20, 故无论k取何实数值,方程总的实数根。(2) 若b=c,因b,c是所给的方程的根,故 =0,即(k-1)2=0,所以k=1. B+c=3k+1=4. 因a=6,此时b+ca,不合题意,故这种情况不存在。 若b,c中有一条和a相等,不妨设a=b=6,因b是所给方程的根,所以62-(3k+1)6+(2k2+2k)=0, 所以k1=3, k2=5当k=3时,b+c=3k+1=10,此时c=4 ,a+b+c=16;当k=5时,b+c=3k+1=16,此时c=10 ,a+b+c=22;故等腰三角形的周长为16或者22。12若题中方程都有两个相等的实
15、数根,则有b2-ac=0, c2-ab=0,a2-bc=0;于是 b2-ac+ c2-ab+ a2-bc=0,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,但由题意上式应大于0,此矛盾证得本题。13. 设方程的两整数根分别为、,由韦达定理,得:+=m-1 , =m+1 , -得:-=2, 即有-+1=3,(-1) (-1) =3, -1=。-1=1, 3, 则=2, 0, 4, -2, 并相应得到=4,-2,2,0,于是可得=8或0, 分别代入得:m=7或m=-114 根据题设, a、b可以看做是方程x2-71x+1660- (c+d)=0的两个根;= (-71)2-41660-(c+d) 0,c+d399注意到:cd=1155=35711, 5711+3=388399,不妨设cd, 只能有c=1, d=1155, c+d=1156。ab=504。解方程x2-71x+504=0, 得两根为63、8,故|a-b|=5515由-,并整理得 (n-4) (n-1)27.5,故n8。当n=8时,m=44, 满足题设条件。故n的最小值为8。7
限制150内