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1、已知椭圆过点,两焦点为、,是坐标原点,不经过原点的直线与椭圆交于两不同点、.(1)求椭圆C的方程; (2) 当时,求面积的最大值;(3) 若直线、的斜率依次成等比数列,求直线的斜率.22解 (1)由题意得,可设椭圆方程为 2分则,解得所以椭圆的方程为.4分(2)消去得: 则 6分 设为点到直线的距离,则 8分当且仅当时,等号成立 所以面积的最大值为. 10分(2)消去得: 12分则 故 14分因为直线的斜率依次成等比数列所以 ,由于故 16分18.下图揭示了一个由区间到实数集上的对应过程:区间内的任意实数与数轴上的线段(不包括端点)上的点一一对应(图一),将线段围成一个圆,使两端恰好重合(图二
2、),再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在轴上,点的坐标为(图三).图三中直线与轴交于点,由此得到一个函数,则下列命题中正确的序号是 ( a ); 是偶函数; 在其定义域上是增函数;ABM01mxMA(B)A(0,1)MN(n,0)xyO(图一)(图二)(图三)的图像关于点对称.(A)(1)(3)(4).(B)(1)(2)(3).(C)(1)(2)(4). (D)(1)(2)(3)(4).21(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2个小题满分8分。13已知函数是定义在上的奇函数.当时,则时, 不等式的解集为 21 (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2
3、小题满分8分 (文科)已知双曲线,设是双曲线上任意一点, 为坐标原点,设为双曲线右焦点.(1)若双曲线满足:无论点在右支的何处,总有,求双曲线在第一、三象限的那条渐近线的倾斜角的取值范围;(2)过右焦点的动直线交双曲线于、两点,是否存在这样的,的值,使得为等边三角形.若存在,求出所有满足条件的,的值;若不存在,说明理由.1)(或); -2分,恒成立,-4分所以, -5分设所求的倾斜角为,则,得. -6分(2)由及(1)得,所以,于是A、B是关于x轴或y轴或原点对称的, 若关于原点对称,则A、O、B、F共线,这是不可能的; -8分若关于y轴对称,则ABx轴,这也是不可能的; -10分若关于x轴对
4、称,则ABy轴,又A、F、B共线,所以A、B都在右支上,于是由RtOAF的各边关系,得且,所以,即,也即, 12分设,则,所以存在这样的(其中m为正常数),使为等边三角形. -23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分 (文科)设函数的定义域为,值域为,如果存在函数,使得函数的值域仍然是,那么,称函数是函数的一个变换.(1)判断函数是不是,的一个变换? 说明你的理由;(2)设的值域,已知是的一个 变换,且函数的定义域为,求实数的值;(3)设函数的定义域为,值域为,函数的定义域为,值域为,写出是的一个变换的充分非必要条件(不必证明)【解】(1)
5、函数的值域为,2分,4分所以,不是的一个变换; 5分(2)的值域为,由知,即定义域为, 6分因为是的一个变换,且函数的定义域为,所以,的值域为, 8分,所以,恒有,且存在使两个等号分别成立,10分于是, 解得 或14分(3)设函数的定义域为,值域为,函数的定义域为,值域为,则是的一个变换的充分非必要条件是“=” 18分 条件的不必要性的一个例子是 , ,此时,但的值域仍为,即是的一个等值域变换。(反例不唯一)在平面直角坐标系中,原点为,抛物线的方程为,线段是抛物线的一条动弦。 (1)求抛物线准线方程和焦点坐标;(2)若,求证:直线恒过定点;(3)当时,设圆,若存在且仅存在两条动弦,满足直线与圆
6、相切,求半径的取值范围?解(1)准线方程: +2分 焦点坐标: +4分 (2)设直线方程为 , 得 +6分 +8分 直线 过定点(0,2) +10分(3) +12分 +14分 令 当时, 单调递减, +15分当时, 单调递增, +16分存在两解即一解 +18分已知椭圆的两焦点分别为,是椭圆在第一象限内的一点,并满足,过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点. (1)求点坐标;(2)当直线经过点时,求直线的方程;(3)求证直线的斜率为定值.22. 解(1)由题可得,设则,(1分)点在曲线上,则,(2分)解得点的坐标为. (4分)(2)当直线经过点时,则的斜率为,因两条直线的倾斜角互补,故的斜率为
7、,由得,即,故,(2分)同理得,(4分)直线的方程为 (6分)(3) 依题意,直线的斜率必存在,不妨设的方程为:.由 得,(2分)设,则,同理,则,同理.(4分)所以:的斜率为定值. (6分)23(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)设为实数,函数,(1)若函数是偶函数,求实数的值;(2)若,求的最小值;(3)对于函数,在定义域内给定区间,如果存在(),满足,则称函数是区间上的“平均值函数”,是它的一个“均值点”如函数是上的平均值函数,就是它的均值点现有函数是区间上的平均值函数,求实数的取值范围23(1)由题意,对任意有,即,(2分)所以,因为为任意实数,所以 (2分)(
8、2)当时, (2分)所以在上的最小值为, (1分)在上的最小值为, (1分)因为,所以函数在上的最小值为(2分)(3)因为函数是区间上的平均值函数,所以存在,使, (2分)而,即存在,使得, (1分)亦即关于的方程在内有解 (2分)由,解得,所以必有,(2分)即,所以的取值范围是 (1分)21.(本小题满分13分)已知函数(1)求函数的零点的个数;(2)令,若函数在内有极值,求实数a的取值范围21解:(1) - 1分 在单调递增 -2分 又, -4分 在内有唯一的零点 故在上有一个零点。 -5分(2) 定义域 -6分 则 -7分 设 ,要使函数在内有极值,由于,则在 内有两个不等实根 -9分或
9、又至少有一根在内,不妨设 由得 -11分只需 22(本小题满分14分)已知圆的方程为(为正常数,且)及定点,动点在圆上运动,线段的垂直平分线与直线相交于点,动点的轨迹为曲线 (1)讨论曲线的曲线类型,并写出曲线的方程;(2)当时,过曲线内任意一点作两条直线分别交曲线于、和、,设直线与的斜率分别为、,若,求证:为定值22、解:(1)连结,则.当时,则点在圆内此时,且故的轨迹为以为焦点的椭圆,此时曲线的方程为2分当时,则点在圆外,此时,且故的轨迹为以为焦点的双曲线,此时曲线的方程为 4分(2)当时,曲线的方程为设,则直线的方程为联立方程得设 则 -6分 10分同理,直线的方程为 则|AT|TC|=|BT|TD| 又为曲线内任意一点 即 12分又直线与不重合 为定值。 13分16. 已知正数满足,则的最小值为_.17设M是ABC内一点,定义 其中分别是MBC,MAC,MAB的面积,若,则的取值范围是
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