多自由度系统振动.ppt
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1、多自由度系统振动 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望kcm建模方法建模方法1:将车、人等全部作为一个质量考虑,并考虑弹性和阻尼将车、人等全部作为一个质量考虑,并考虑弹性和阻尼要求:对轿车的上下振动进行动力学建模要求:对轿车的上下振动进行动力学建模例子:轿车行驶在路面上会产生上下振动例子:轿车行驶在路面上会产生上下振动缺点:模型粗糙,没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之缺点:模型粗糙,没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响间的相互影响优点:
2、模型简单优点:模型简单分析:人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合分析:人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合多自由度系统振动多自由度系统振动2022/11/222振动力学k2c2m车车m人人k1c1建模方法建模方法2:车、人的质量分别考虑,并考虑各自的弹车、人的质量分别考虑,并考虑各自的弹性和阻尼性和阻尼优点:模型较为精确,考虑了人与车之间的耦合优点:模型较为精确,考虑了人与车之间的耦合缺点:没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响缺点:没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响多自由度系统振动多自由度系统振动2022/11/223振动力学m人人k1c1k2c2mk3c3k
3、2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法建模方法3:车、人、车轮的质量分别考虑,车、人、车轮的质量分别考虑,并考虑各自的弹性和阻尼并考虑各自的弹性和阻尼优点:分别考虑了人与车、车与优点:分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的车轮、车轮与地面之间的相互耦合,模型较为精确相互耦合,模型较为精确问题:如何描述各个质量之间的相互耦合效应?问题:如何描述各个质量之间的相互耦合效应?多自由度系统振动多自由度系统振动2022/11/224振动力学教学内容教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多
4、自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动多自由度系统振动2022/11/225振动力学 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程 刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵 位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚
5、度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 耦合与坐标变换耦合与坐标变换耦合与坐标变换耦合与坐标变换多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/226振动力学作用力方程作用力方程先看几个例子先看几个例子 例例1:双质量弹簧系统,两质量分别受到激振力:双质量弹簧系统,两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)
6、P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/227振动力学解:解:的原点分的原点分别别取在取在 的静平衡位置的静平衡位置 建立坐标:建立坐标:设设某一瞬某一瞬时时:上分上分别别有位移有位移加速度加速度受力分析:受力分析:P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/228振动力学建立方程:建立方程:矩阵形式:矩阵形式:力量纲力量纲坐标间的耦合项坐标间的耦
7、合项 P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/229振动力学例例2:转动运动:转动运动两圆盘两圆盘转动惯量转动惯量 轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程 外力矩外力矩 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2210振动力学解:解:建立坐标:建立坐标:角位移角位移设设某一瞬某一瞬时时:角加速度角加速度受力分析:受力分析:多自由度系统振动多自由度系统
8、振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2211振动力学建立方程:建立方程:矩阵形式:矩阵形式:坐标间的耦合项坐标间的耦合项 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2212振动力学多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中做过的那样,在多自由度系统中如同在单自由度系统中做过的那样,在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自
9、由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2213振动力学小结:小结:可统一表示为:可统一表示为:例例1:例例2:作用力方程作用力方程位位移移向向量量加加速速度度向向量量质质量量矩矩阵阵刚刚度度矩矩阵阵激激励励力力向向量量若系统有若系统有 n 个自由度,则各项皆为个自由度,则各项皆为 n 维维 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2214振动力学刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵当当 M、K 确定后,系统动力方程可完全确定确定后,系统动力方程可完全确定M、K 该如何确定?该如何确
10、定?作用力方程:作用力方程:先讨论先讨论 K加速度为零加速度为零则:则:假设外力是以准静态方式施加于系统假设外力是以准静态方式施加于系统多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2215振动力学作用力方程:作用力方程:假设作用于系统的是这样一组外力,它们使系统只在第假设作用于系统的是这样一组外力,它们使系统只在第 j 个坐个坐标上产生单位位移,而在其他各个坐标上不产生位移标上产生单位位移,而在其他各个坐标上不产生位移 即即:代入,有代入,有:多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/
11、2216振动力学所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第的第 j 列列(i=1n):在第在第 i 个坐标上施加的力个坐标上施加的力 结论结论:刚刚度矩度矩阵阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生个坐标上产生单位位移而相应于第单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2217振动力学作用力方程:作用力方程:讨论讨论 M 假设系统受到外力作用的瞬时,只产生加速度而不产生任何位移假设系统受到外力作用的
12、瞬时,只产生加速度而不产生任何位移 即:即:X=0则有:则有:多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2218振动力学使使系系统统只只在在第第j个个坐坐标标上上产产生生单单位位加加速速度度,而而在在其其他他坐坐标标上上不不产产生加速度所施加的一组外力,正是质量矩阵生加速度所施加的一组外力,正是质量矩阵M的第的第j列列 结论结论:质质量矩量矩阵阵M中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第j个坐标上产生个坐标上产生单位加速度而相应于第单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 和和 分分别别称称为为质质量量影影响响
13、系系数数和和刚刚度度影影响响系系数数。根根据据它它们们的的物物理理意意义义可可以以直直接接写写出出矩矩阵阵 M 和和 K,从从而而建建立立作作用用力力方方程程,这这种种方法称为方法称为影响系数方法影响系数方法。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2219振动力学例:写出例:写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解:解:先只考虑静态先只考虑静态 令令 令令令令刚刚度矩度矩阵阵:多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程202
14、2/11/2220振动力学只考虑动态只考虑动态 令令有:有:令令有:有:令令有:有:m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)质质量矩量矩阵阵:多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2221振动力学运动微分方程:运动微分方程:m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2222振动力学例:双混合例:双混合摆摆,两,两刚刚体体质质量量质质心心绕绕通通过过自身自身质质心的心的 z 轴轴的的转动惯转
15、动惯量量求:求:以微小以微小转转角角为为坐坐标标,写出在写出在x-y平面内摆动的作用力方程平面内摆动的作用力方程 两两刚刚体体质质量量h1C1C2h2lxy多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2223振动力学受力分析受力分析h1C1C2h2lxyxy多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2224振动力学解:解:先求质量影响系数先求质量影响系数 令令有:有:令令有:有:yh1C1C2h2lx多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程20
16、22/11/2225振动力学令令有:有:令令有:有:质量矩阵:质量矩阵:多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2226振动力学求刚度影响系数求刚度影响系数由于恢复力是重力,所以实际上是求重力影响系数由于恢复力是重力,所以实际上是求重力影响系数 令令有:有:令令有:有:yh1C1C2h2lx多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2227振动力学令令有:有:令令有:有:刚度矩阵:刚度矩阵:多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/
17、11/2228振动力学运动微分方程:运动微分方程:yh1C1C2h2lx多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2229振动力学例:例:求:求:以微小以微小转转角角为为坐坐标标,写出微摆动的运动学方程写出微摆动的运动学方程 每杆每杆质质量量 m杆杆长长度度 l水平水平弹弹簧簧刚刚度度 k弹弹簧距离固定端簧距离固定端 akaO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2230振动力学解:解:令:令:则则需要在两杆上施加力矩需要在两杆上施加力矩分分别对别对两杆两杆 O1、O2 求
18、矩:求矩:令:令:则则需要在两杆上施加力矩需要在两杆上施加力矩分分别对别对两杆两杆 O1、O2 求矩:求矩:aO1O2aO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2231振动力学刚刚度矩度矩阵阵:aO1O2aO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2232振动力学令:令:则则需要在两杆上施加力矩需要在两杆上施加力矩令:令:则则需要在两杆上施加力矩需要在两杆上施加力矩质质量矩量矩阵阵:aO1O2kaO1O2k多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多
19、自由度系统的动力学方程2022/11/2233振动力学运运动动学方程:学方程:kaO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2234振动力学例:两自由度系例:两自由度系统统摆长摆长 l,无,无质质量,微量,微摆动摆动求:运求:运动动微分方程微分方程xm1k1k2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2235振动力学解:解:先求解先求解刚刚度矩度矩阵阵令:令:令:令:m1k1k2m1k1k2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2
20、022/11/2236振动力学刚刚度矩度矩阵阵:多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2237振动力学求解求解质质量矩量矩阵阵令:令:令:令:m1k1k2惯性力惯性力m1k1k2惯性力惯性力多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2238振动力学质质量矩量矩阵阵:xm1k1k2刚刚度矩度矩阵阵:运运动动微分方程:微分方程:多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2239振动力学位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵对对于于
21、静静定定结结构构,有有时时通通过过柔柔度度矩矩阵阵建建立立位位移移方方程程比比通通过过刚刚度度矩矩阵阵建立建立作用力方程作用力方程来得更方便些。来得更方便些。柔度柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形定义为弹性体在单位力作用下产生的变形物理意义及量纲与刚度恰好相反物理意义及量纲与刚度恰好相反 以一个例子说明位移方程的建立以一个例子说明位移方程的建立 x1m1x2m2P1P2无质量弹性梁,有若干集中质量无质量弹性梁,有若干集中质量(质量连续分布的弹性梁的简化(质量连续分布的弹性梁的简化)假假设设是常力是常力 以准静态方式作用在梁上以准静态方式作用在梁上 梁只产生位移(即挠度),不产生加速度梁只
22、产生位移(即挠度),不产生加速度 取取质质量量的静平衡位置的静平衡位置为为坐坐标标的原点的原点 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2240振动力学m1 位移:位移:m2 位移:位移:时时(1)时时(2)m1 位移:位移:m2 位移:位移:同同时时作用作用(3)m1 位移:位移:m2 位移:位移:f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/11/2241振动力学 同同时时作用作用时时:矩阵形式:矩阵形式:其中:其中:柔度矩
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