线性代数线性代数线性代数 (6).pdf
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1、6 分解 6.1 分解 回忆消元法的过程:方阵 上三角矩阵 使用矩阵语言:是初等矩阵的乘积.例:目标:将矩阵 分解成一个下三角矩阵(lower triangular matrix)和一个上三角矩阵(upper triangular matrix)的乘积.初等行变换 6.1 分解 看三阶方阵的情形:设不需做换行,经Gauss消元法变为上三角阵 即 于是 消去矩阵为下三角矩阵.下三角矩阵的逆、乘积均是下三角矩阵.6.1 分解 问题:为什么用 而非 例:6.1 分解 容易计算 不易计算.只包含消去信息 包含其他信息.是这样得到的:将消元的系数写在相应位置上.记 代入得“”表示把矩阵的第 行减去第 行
2、的 倍.6.1 分解 例 为上三角矩阵,对角元为 的主元.为下三角矩阵,对角元为 乘数 位于对角元下方.6.1 分解 有时,写成 例:上例中 其中 为对角阵 为上三角阵 为下三角阵 和 的对角元 都是 6.2 用 分解解线性方程组 若 则方程组 变为 (下三角形方程组)(上三角形方程组)例:已知 应用 的 分解来解 其中 6.2 用 分解解线性方程组 解:不计求 分解的运算在内,解两个三角方程组 和 比直接解 简单.6.2 用 分解解线性方程组 实际问题中常需解一系列具有相同系数矩阵的线性方程组 当 可逆时,可求 再求 实践中,1.用消元法解第一个方程组,同时得到 的 分解;2.用 分解解剩下
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