线性代数线性代数线性代数 (22).pdf
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1、22 实对称矩阵实对称矩阵 22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量 若矩阵 满足 则称 为对称矩阵.本节主要讨论实对称矩阵的性质.这类矩阵应用广泛,理论丰富、优美.一个实矩阵的特征值可能是虚数,如 但 定理:实对称矩阵的特征值都是实数.证明:设实对称矩阵 有 则 因 故 即 为实数.22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量 属于不同特征值的特征向量线性无关,对实对称矩阵有更强的结果.定理:实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交.证明:设 与 是实对称矩阵 的两互异特征值(由前面定理 是实数),是相应特征向量,即 于是 而 故 22.1
2、 实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量 例:有特征值 为分别属于 的特征向量.易见 与 正交.22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 回忆:矩阵 可对角化 有一组特征向量作为空间的基.故若 是可对角化的实对称阵,则存在 的一组特征向量构成空间的单位正交基.事实上,定理:任何实对称阵正交相似于对角阵,即对实对称阵 存在正交阵 使 为对角阵.22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 证明:对矩阵 的阶数用数学归纳法.时结论成立.假设结论对 阶矩阵成立.对 阶实对称阵 设 且 则 可扩充为 的一组基,进一步正交化,得一组标准正交基,记为 则
3、为正交阵,且 22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 由 得 且 由归纳假设知,对 阶实对称矩阵 存在正交阵 使 令 则 为正交阵,且 22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 例:设 求正交阵 使 为对角阵.22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 解:因此 的特征值是 22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 对 可求出齐次线性方程组 的一个基础解系:对 可求出齐次线性方程组 的一个基础解系:22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称阵正交相似于对角阵 作正交化(只需对 进行),22.2 实对称阵正交相似于对角阵实对称
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