数理方程第一章典型方程与定解条件精.ppt
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1、数理方程第一章典型方程与定解条件2022/11/301第1页,本讲稿共30页数学物理方程与特殊函数 数学和物理的关系 课程的主要内容数学和物理从来是没有分开过的 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。三种方程、四种求解方法、二个特殊函数分离变量法行波法积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝塞尔函数勒让德函数2022/11/302第2页,本讲稿共30页哈密尔顿算子或梯度算子,读作nabla 拉普拉斯算子 微积分知识回顾与梯度算子有关的场论运算 平面上的拉普拉斯算子 常微分方程的求解:常见的一阶方程、可降阶高阶方程、二阶线性方程 傅里叶级数理论:傅里叶级数及其系数
2、、正弦级数、余弦级数 2022/11/303第3页,本讲稿共30页拉普拉斯方程:热传导方程:波动方程:三类偏微分方程 两种特殊函数 贝塞尔方程 勒让德方程 琴弦的振动;杆、膜、液体、气体等的振动;电磁场的振荡等 热传导中的温度分布;流体的扩散、粘性液体的流动 空间的静电场分布;静磁场分布;稳定温度场分布 的解:贝塞尔函数 的解:勒让德函数 2022/11/304第4页,本讲稿共30页一、一、基本方程的建立基本方程的建立第一章第一章 一些典型方程和一些典型方程和定解条件的推导定解条件的推导二、二、定解条件的推导定解条件的推导三、三、定解问题的概念定解问题的概念2022/11/305第5页,本讲稿
3、共30页常见数学物理方程的导出确定所要研究的物理量u,比如位移、场强、温度 根据物理规律建立微分方程 通过合理的数学近似对方程进行化简数学物理方程定解问题的提法泛定方程泛定方程(波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程)(波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程)定解问题:定解条件定解条件(初始条件,边界条件)(初始条件,边界条件)2022/11/306第6页,本讲稿共30页一、一、基本方程的建立基本方程的建立条件:均匀柔软的细弦,在平衡位置附近作微小横振动。不受外力影响。例例1、弦的振动、弦的振动研究对象:线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。2022/11/307第7页,本讲稿共30页弦振动的相关模拟弦振
4、动的相关模拟2022/11/308第8页,本讲稿共30页弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟2022/11/309第9页,本讲稿共30页弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟2022/11/3010第10页,本讲稿共30页弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟2022/11/3011第11页,本讲稿共30页波的传播的相关模拟波的传播的相关模拟2022/11/3012第12页,本讲稿共30页弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟2022/11/3013第13页,本讲稿共30页简化假设:(2)横向振幅极小,张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的,弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。牛顿运动定律:横向:纵向:其中:其
5、中:2022/11/3014第14页,本讲稿共30页其中:一维波动方程令:-非齐次方程非齐次方程自由项-齐次方程齐次方程忽略重力作用:2022/11/3015第15页,本讲稿共30页从麦克斯韦方程出发:在自由空间:例例2、时变电磁场、时变电磁场2022/11/3016第16页,本讲稿共30页对第一方程两边取旋度,根据矢量运算:由此得:得:即:同理可得:电场的三维波动方程磁场的三维波动方程2022/11/3017第17页,本讲稿共30页例例3 3、热传导、热传导所要研究的物理量:温度 根据热学中的傅立叶试验定律在dt时间内从dS流入V的热量为:从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 高斯公式(矢量
6、散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分)热传导现象:当导热介质中各点的温度分布不均匀时,有热量从高温处流向低温处。热场2022/11/3018第18页,本讲稿共30页流入的热量导致V内的温度发生变化 流入的热量:温度发生变化需要的热量为:热传导方程热场如果物体内有热源,则温度满足非齐次热传导方程2022/11/3019第19页,本讲稿共30页例例4 4、静电场、静电场电势u u 确定所要研究的物理量:根据物理规律建立微分方程:对方程进行化简:拉普拉斯方程 泊松方程 2022/11/3020第20页,本讲稿共30页同一类物理现象中,各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题
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- 数理 方程 第一章 典型 条件
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