全等三角形辅助线方法.doc
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1、-_DCBAEDFCBA全等三角形辅助线全等三角形辅助线常见辅助线的作法有以下几种:常见辅助线的作法有以下几种:1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折” 2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” ;(遇垂线及角平分线时延长垂线
2、段,构造等腰三角形)5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答一、倍长中线(线段)造全等一、倍长中线(线段)造全等1:(“希望杯”试题)已知,如图ABC 中,AB=5,AC=3,则中线 AD 的取值范围是_.2:如图,ABC 中,E、F 分别在 AB、AC 上,DEDF,D 是中点,试比较 BE+CF 与 EF 的大小.3:如图,ABC
3、中,BD=DC=AC,E 是 DC 的中点,求证:AD 平分BAE.-_EDCBAEDCBA中考应用(09 崇文二模)以的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰 Rt和等腰ABCABDRt,连接 DE,M、N 分别是 BC、DE 的中点探究:AMACE90 ,BADCAE 与 DE 的位置关系及数量关系 (1)如图 当为直角三角形时,AM 与 DE 的位置ABC关系是 ,线段 AM 与 DE 的数量关系是 ;(2)将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE.EDCBA五、旋转五、旋转1:正方形 ABCD 中,E 为 BC 上的一点,F 为 CD 上的一点,BE+DF=EF,求EAF 的
4、度数.2:D 为等腰斜边 AB 的中点,DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。Rt ABC (1) 当绕点 D 转动时,求证 DE=DF。MDN (2)若 AB=2,求四边形 DECF 的面积。3.如图,是边长为 3 的等边三角形,是等腰三角形,ABCBDC且,以 D 为顶点做一个角,使其两边分别交 AB0120BDC060于点 M,交 AC 于点 N,连接 MN,则的周长为 ;AMN-_中考应用:中考应用:(07 佳木斯)已知四边形中,ABCD,:,绕ABADBCCDABBC120ABC 60MBN MBN点旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于 (1)当绕BADDC,E
5、F,MBN 点旋转到时(如图 1) ,易证 (2)当绕点旋转到BAECFAECFEFMBNB 时,在图 2 和图 3 这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;AECF若不成立,线段,又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明AECF,EF(09 崇文一模)在等边的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N,D 为ABC外一点,且,BD=DC. 探究:当 M、N 分别在直线ABCA60MDN120BDCAB、AC 上移动时,BM、NC、MN 之间的数量关系及的周长 Q 与等边的AMNABC 周长 L 的关系(图 1)ABCDEFMN(图 2)ABCDEFMN(图 3)ABCDE
6、FMN-_GABFDECADCPBHFEGADCBFEDCBA21图 1 图 2 图 3 (I)如图 1,当点 M、N 边 AB、AC 上,且 DM=DN 时,BM、NC、MN 之间的数量关系是 ; 此时 ; LQ(II)如图 2,点 M、N 边 AB、AC 上,且当 DMDN 时,猜想(I)问的两个结论还 成立吗?写出你的猜想并加以证明; (III) 如图 3,当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时,若 AN=,则 Q= x (用、L 表示) x六、六、构造全等构造全等例 1: 已知:如图 4,在 RtABC 中,ACB=90, AC=BC,D 为 BC 的中点,CEAD 于 E,交
7、 AB 于 F,连接 DF 求证:ADC=BDF2用有刻度的直尺能平分任意角吗?下面是一种 方法:如图 9 所示,先在AOB 的两边上取 OP=OQ, 再取 PM=QN,连接 PN、QM,得交点 C,则射线 OC 平分AOB你能说明道理吗? 图 93如图 10,ABC 中,AB=AC,过点 A 作GEBC,角平分线 BD、CF 相交于点 H,它们的 延长线分别交 GE 于点 E、G试在图 10 中找出 3 对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明 图 104已知ABC,AB=AC,E、F 分别 为 AB 和 AC 延长线上的点,且 BE=CF,EF 交 BC 于 G求证:EG=GF 图 1
8、55 已知:ABC 中,BD=CD,12求证:AD 平分BAC-_AFHDCGBEADCBEAFDCBECEBAD说明:遇到有关角平分线的问题时,可引角的两边的垂线,先证明三角形全等,然后根据 全等三角形的性质得出垂线段相等,再利用角的平分线性质得出两角相等 (2)利用角的平分线构造全等三角形:过角平分线上一点作两边的垂线段 练习:如图 22,ABCD,E 为 AD 上一点,且 BE、CE 分 别平分ABC、BCD求证:AE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形 例 6: 如图 23,在ABC 中,AD 平分BAC,C=2B求证:AB=AC+CD分析:由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴,因
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