线代数LinearAlgebra刘鹏.ppt
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1、线代数LinearAlgebra刘鹏 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第四章第四章 线性空间与欧氏空间线性空间与欧氏空间一、线性空间的定义一、线性空间的定义一、线性空间的定义一、线性空间的定义 设设设设 V V 是一个非空集合,如果它的任意元素:是一个非空集合,如果它的任意元素:是一个非空集合,如果它的任意元素:是一个非空集合,如果它的任意元素:(1)(1)对加法与数量乘法两种运算封闭;对加法与数量乘法两种运算封闭;对加法与数量乘法两种运算封闭;对加
2、法与数量乘法两种运算封闭;(2)(2)满足以下满足以下满足以下满足以下 8 8 8 8 种种种种 运算规律运算规律运算规律运算规律(公理公理公理公理)(1)+(2)(+)+(+)(3)+0 (4)+()0(5)k(+)k +k (6)(k+l)=k +l(7)(k l)=k(l )(8)1 =2 2 2 2 判别线性空间的方法:一个集合,它如果判别线性空间的方法:一个集合,它如果判别线性空间的方法:一个集合,它如果判别线性空间的方法:一个集合,它如果1 1 1 1 凡满足以上八条运算规律的凡满足以上八条运算规律的凡满足以上八条运算规律的凡满足以上八条运算规律的加法加法加法加法及及及及数乘数乘数
3、乘数乘运算,运算,运算,运算,称为称为称为称为线性运算线性运算线性运算线性运算 对于对于对于对于加法加法加法加法及及及及数乘数乘数乘数乘运算不封闭运算不封闭运算不封闭运算不封闭(不满足不满足不满足不满足闭包性闭包性闭包性闭包性);或者,或者,或者,或者,不满足八条运算性质的任一条;不满足八条运算性质的任一条;不满足八条运算性质的任一条;不满足八条运算性质的任一条;则不能构成线性空间则不能构成线性空间则不能构成线性空间则不能构成线性空间 人们经常把线性空间称为人们经常把线性空间称为人们经常把线性空间称为人们经常把线性空间称为向量空间向量空间向量空间向量空间 把线性空间中的把线性空间中的把线性空间
4、中的把线性空间中的元素元素元素元素称为称为称为称为向量向量向量向量.二、子空间的概念二、子空间的概念二、子空间的概念二、子空间的概念 (线性空间局部与整体的关系线性空间局部与整体的关系线性空间局部与整体的关系线性空间局部与整体的关系)定义定义定义定义 4.24.24.24.2:设设设设 W W W W 是数域是数域是数域是数域 P P P P 上线性空间上线性空间上线性空间上线性空间 V V V V 的的的的 一个一个一个一个子集子集子集子集,若满足条件:,若满足条件:,若满足条件:,若满足条件:(1)(1)(1)(1)W W 是是是是非空非空非空非空的;的;的;的;(2)(2)(2)(2)如
5、果如果如果如果,WW,则则则则+WW;(3)(3)(3)(3)如果如果如果如果 WW,P P P P 则则则则 WW;那么那么那么那么 W W W W 是是是是 V V V V 的一个的一个的一个的一个子空间子空间子空间子空间.l l 生成元生成元生成元生成元 (子空间自成体系子空间自成体系子空间自成体系子空间自成体系)设设设设 1,1,2,.,2,.,n n 是数域是数域是数域是数域 P P P P 上线性空间上线性空间上线性空间上线性空间 V V V V 中的一组向量,中的一组向量,中的一组向量,中的一组向量,考虑这组向量考虑这组向量考虑这组向量考虑这组向量所有可能所有可能所有可能所有可能
6、的线性组合所组成的的线性组合所组成的的线性组合所组成的的线性组合所组成的集合集合集合集合 是是是是V V V V的一个子空间,称它为由的一个子空间,称它为由的一个子空间,称它为由的一个子空间,称它为由 1,1,2,.,2,.,n n 生成生成生成生成/张成张成张成张成的子空间的子空间的子空间的子空间 (generated/spanned by(generated/spanned by),记为:,记为:,记为:,记为:向量组向量组向量组向量组 1,1,2,.,2,.,n n 称为此子空间的称为此子空间的称为此子空间的称为此子空间的生成元生成元生成元生成元 (generator)(generato
7、r).4.2 4.2 基、维数和坐标基、维数和坐标 定义定义定义定义 4.34.34.34.3:线性空间线性空间线性空间线性空间 V V V V 中向量组中向量组中向量组中向量组 1 1,2 2,.,.,n n ,如果它满足条件,如果它满足条件,如果它满足条件,如果它满足条件:(1)(1)(1)(1)1 1,2 2,.,.,n n线性无关;线性无关;线性无关;线性无关;(2)(2)(2)(2)线性空间线性空间线性空间线性空间 V V V V 中任一向量中任一向量中任一向量中任一向量都可经都可经都可经都可经 1 1,2 2,.,.,n n线性表示线性表示线性表示线性表示.则称此向量组是线性空间则
8、称此向量组是线性空间则称此向量组是线性空间则称此向量组是线性空间 V V V V 的一个的一个的一个的一个基基基基 (basis)(basis).定义定义定义定义 4.44.44.44.4:如果线性空间如果线性空间如果线性空间如果线性空间 V V V V 的一个的一个的一个的一个基基基基所含所含所含所含向量向量向量向量个数为个数为个数为个数为 n n n n,则称则称则称则称 V V V V 为为为为 n n n n 维空间维空间维空间维空间,记为记为记为记为 dim V=ndim V=n.定理定理定理定理 4.24.24.24.2:设设设设 1,1,2,.,2,.,l l 是是是是 n n
9、n n 维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间 V V V V 中中中中l l 个向量,在个向量,在个向量,在个向量,在 V V V V 中取定一个基中取定一个基中取定一个基中取定一个基1 1 1 1,2 2 2 2,.,.,.,.,n n n n,如果如果如果如果 j j j j 在此基下的坐标为在此基下的坐标为在此基下的坐标为在此基下的坐标为则则则则向向向向量量量量组组组组 1 1 1 1,2 2 2 2 ,.,.,.,.,l l 线线线线性性性性相相相相关关关关的的的的充充充充分分分分必必必必要要要要条件是矩阵条件是矩阵条件是矩阵条件是矩阵的秩的秩的秩的秩 r rA A l l.线性无
10、关的充要条件是线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是 r rA A=l=l.稍后用到稍后用到稍后用到稍后用到 由向量组由向量组由向量组由向量组坐标矩阵的秩坐标矩阵的秩坐标矩阵的秩坐标矩阵的秩 判定其线性相关性判定其线性相关性判定其线性相关性判定其线性相关性.二、二、二、二、向量的坐标向量的坐标 定义定义定义定义 4.54.54.54.5:设向量组设向量组设向量组设向量组 1 1 1 1,2 2 2 2,.,.,.,.,n n n n 是是是是 n n n n 维维维维线性空间线性空间线性空间线性空间 V V V V 的一个基,的一个基,的一个基,的一个基,是是是是 V V
11、 V V 中任意一个向量,中任意一个向量,中任意一个向量,中任意一个向量,则有则有则有则有称称称称数组数组数组数组 x x1 1,x,x2 2,x,xn n 为向量为向量为向量为向量 在在在在基基基基1 1 1 1,2 2 2 2,.,.,.,.,n n n n下下下下的的的的坐标坐标坐标坐标(coordinates)(coordinates),记为记为记为记为 x x1 1,x,x2 2,x,xn n T T T T 任任任任 意意意意 一一一一 个个个个 向向向向 量量量量 在在在在 一一一一 个个个个 确确确确 定定定定 的的的的 基基基基 下下下下 的的的的 坐坐坐坐 标标标标 是是是
12、是唯一唯一唯一唯一的的的的.行空间和列空间的概念行空间和列空间的概念行空间和列空间的概念行空间和列空间的概念(补充补充补充补充)矩阵矩阵矩阵矩阵A Amm n n 可以看作由行向量可以看作由行向量可以看作由行向量可以看作由行向量/列向量构成列向量构成列向量构成列向量构成.定义定义定义定义:由由由由A A 的行向量张成的子空间为的行向量张成的子空间为的行向量张成的子空间为的行向量张成的子空间为A A 的的的的行空间行空间行空间行空间(row space)(row space);由;由;由;由A A 的列向量张成的子空间为的列向量张成的子空间为的列向量张成的子空间为的列向量张成的子空间为A A 的
13、的的的列空间列空间列空间列空间(column space).(column space).例例例例 设设设设 A A 的行空间为如下形式的行空间为如下形式的行空间为如下形式的行空间为如下形式 A A 的列空间为的列空间为的列空间为的列空间为 A A 的行的行的行的行/列空间的维数为矩阵的秩列空间的维数为矩阵的秩列空间的维数为矩阵的秩列空间的维数为矩阵的秩.A A 的行空间维数的行空间维数的行空间维数的行空间维数 =列空间维数列空间维数列空间维数列空间维数.用行用行用行用行/列空间的概念研究线性方程组列空间的概念研究线性方程组列空间的概念研究线性方程组列空间的概念研究线性方程组 方程组方程组方程
14、组方程组 A X=b A X=b 可以写作可以写作可以写作可以写作定理定理定理定理:(线性方程组相容线性方程组相容线性方程组相容线性方程组相容)A X=bA X=b 相容的充要条件相容的充要条件相容的充要条件相容的充要条件是是是是 b b 在在在在 A A 的列空间中的列空间中的列空间中的列空间中,或,或,或,或A A的列空间包含的列空间包含的列空间包含的列空间包含 b b.R R(A Amm n n)=)=A Ax x|x x R Rn n R Rmm 系数矩阵系数矩阵系数矩阵系数矩阵 A A 的的的的 列空间列空间列空间列空间 A A 的的的的列列列列向向向向量量量量组组组组线线线线性性性
15、性无无无无关关关关,它它它它们们们们是是是是列列列列空空空空间间间间的的的的 一个基一个基一个基一个基.任任任任 意意意意 一一一一 个个个个 向向向向 量量量量 b b 在在在在 一一一一 个个个个 确确确确 定定定定 的的的的 基基基基 下下下下 的的的的 坐坐坐坐 标标标标 是是是是唯一唯一唯一唯一的的的的.第三章的结论,方程组第三章的结论,方程组第三章的结论,方程组第三章的结论,方程组 A X=b A X=b 只有唯一解只有唯一解只有唯一解只有唯一解.如如如如 果果果果 把把把把 b b 换换换换 成成成成 零零零零 向向向向 量量量量,必必必必 然然然然 在在在在 列列列列 空空空空
16、 间间间间 中中中中(平凡解平凡解平凡解平凡解).).).).N N(A Amm n n)=)=x x|A Ax x=R Rn n A Ax x=的的的的解空间解空间解空间解空间,零空间零空间零空间零空间定义定义定义定义:矩阵矩阵矩阵矩阵A Amm n n的的的的零空间零空间零空间零空间,又称,又称,又称,又称核空间核空间核空间核空间(null space)null space),是一组由下列公式定义的,是一组由下列公式定义的,是一组由下列公式定义的,是一组由下列公式定义的 n n 维向量维向量维向量维向量 零空间就是零空间就是零空间就是零空间就是 A X=0 A X=0 的全部解向量的集合的
17、全部解向量的集合的全部解向量的集合的全部解向量的集合 .当然,零空间是当然,零空间是当然,零空间是当然,零空间是 R Rn n 的子空间的子空间的子空间的子空间.A A 的列向量组线性无关,的列向量组线性无关,的列向量组线性无关,的列向量组线性无关,r(A)=n,r(A)=n,此时此时此时此时 A A 的的的的 零空间只有一个零空间只有一个零空间只有一个零空间只有一个 0 0 向量向量向量向量 .A A 的列向量组线性相关,的列向量组线性相关,的列向量组线性相关,的列向量组线性相关,r(A)n,A X=0 r(A)n,A X=0 的的的的 基础解系就是它的一组基基础解系就是它的一组基基础解系就
18、是它的一组基基础解系就是它的一组基.基础解系所含向量个数是基础解系所含向量个数是基础解系所含向量个数是基础解系所含向量个数是 n-r(A)n-r(A),所以,所以,所以,所以A A的的的的 零空间维数零空间维数零空间维数零空间维数 是是是是 n-r(A)n-r(A).零空间也还可以看作与零空间也还可以看作与零空间也还可以看作与零空间也还可以看作与A“A“垂直垂直垂直垂直(正交正交正交正交)”)”的的的的 所有向量的集合,是行空间的正交补所有向量的集合,是行空间的正交补所有向量的集合,是行空间的正交补所有向量的集合,是行空间的正交补 .注意区别于只含有零向量的注意区别于只含有零向量的注意区别于只
19、含有零向量的注意区别于只含有零向量的零子空间零子空间零子空间零子空间.列空间的正交补是列空间的正交补是列空间的正交补是列空间的正交补是 A AT T X=0 X=0 的零空间的零空间的零空间的零空间.三、过渡矩阵与三、过渡矩阵与三、过渡矩阵与三、过渡矩阵与坐标变换公式坐标变换公式坐标变换公式坐标变换公式问题问题问题问题:在:在:在:在 n n 维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间 V V 中,任意中,任意中,任意中,任意 n n个线性无关的个线性无关的个线性无关的个线性无关的向量都可以作为向量都可以作为向量都可以作为向量都可以作为 V V 的一组基的一组基的一组基的一组基 R R n n
20、的标准基是的标准基是的标准基是的标准基是 (e(e1 1,e,e2 2,.,e,.,en n)我们也接触过几个标准基:我们也接触过几个标准基:我们也接触过几个标准基:我们也接触过几个标准基:R R 22 22 的标准基是的标准基是的标准基是的标准基是 PxPxn n的标准基是的标准基是的标准基是的标准基是 (1,x(1,x2 2 ,.,x,.,xn n)那么,同一向量在不同基下的坐标有什么关系呢?那么,同一向量在不同基下的坐标有什么关系呢?那么,同一向量在不同基下的坐标有什么关系呢?那么,同一向量在不同基下的坐标有什么关系呢?不同的基可视不同的基可视不同的基可视不同的基可视作不同的参考坐标系,
21、作不同的参考坐标系,作不同的参考坐标系,作不同的参考坐标系,所以,这实际上是不同参考所以,这实际上是不同参考所以,这实际上是不同参考所以,这实际上是不同参考坐标系下的坐标系下的坐标系下的坐标系下的坐标转化问题坐标转化问题坐标转化问题坐标转化问题.对不同的基,同一个向量的坐标是不同的对不同的基,同一个向量的坐标是不同的对不同的基,同一个向量的坐标是不同的对不同的基,同一个向量的坐标是不同的 换句话说,随着基的改变,向量的坐标如何改变呢?换句话说,随着基的改变,向量的坐标如何改变呢?换句话说,随着基的改变,向量的坐标如何改变呢?换句话说,随着基的改变,向量的坐标如何改变呢?尽管标准基形式简单,但是
22、很多实际问题中尽管标准基形式简单,但是很多实际问题中尽管标准基形式简单,但是很多实际问题中尽管标准基形式简单,但是很多实际问题中 标准基并不是标准基并不是标准基并不是标准基并不是最适用最适用最适用最适用的的的的 可以类比直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系、切平可以类比直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系、切平可以类比直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系、切平可以类比直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系、切平面面面面法向量坐标系、特征值问题等等法向量坐标系、特征值问题等等法向量坐标系、特征值问题等等法向量坐标系、特征值问题等等例如:例如:例如:例如:在在在在 R R2 2 中,我们希望用新的基取代中,我们希望
23、用新的基取代中,我们希望用新的基取代中,我们希望用新的基取代标准基标准基标准基标准基(e(e1 1,e,e2 2)(1)(1)(1)(1)给定一个向给定一个向给定一个向给定一个向量量量量 x x=(=(=(=(x1,x2)T T,求它在基求它在基求它在基求它在基 u u1 1,u,u2 2 下的下的下的下的坐标坐标坐标坐标;(2)(2)(2)(2)给定一个向给定一个向给定一个向给定一个向量量量量 c c 在在在在u u1 1,u,u2 2 下的下的下的下的坐标坐标坐标坐标 c=c=c1u u1 1+c2u u2 2 ,求它在标准基求它在标准基求它在标准基求它在标准基(e(e1 1 ,e,e2
24、2)下的坐标。下的坐标。下的坐标。下的坐标。(2)(2)较为简单:较为简单:较为简单:较为简单:由此得到由此得到由此得到由此得到 c c在标准基下的在标准基下的在标准基下的在标准基下的坐标坐标坐标坐标 (x1,x2)T T为为为为例如:例如:例如:例如:给定向量给定向量给定向量给定向量 x x=(=(=(=(7,4)T T,求它,求它,求它,求它在基在基在基在基 u u1 1,u,u2 2 下的坐标下的坐标下的坐标下的坐标所以,所以,所以,所以,x=3ux=3u1 1-2u2u2 2 .显然,对于显然,对于显然,对于显然,对于(1)(1)(1)(1)给定给定给定给定 x x=(=(=(=(x1
25、,x2)T T,求它在,求它在,求它在,求它在基基基基 u u1 1,u,u2 2 下的坐标是下的坐标是下的坐标是下的坐标是(2)(2)(2)(2)的逆过程的逆过程的逆过程的逆过程:则称矩阵则称矩阵则称矩阵则称矩阵 MM 为由基为由基为由基为由基 1 1,2 2,.,.,n n 到到到到 基基基基 1 1,2 2,.,.,n n 的的的的过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵(transition matrix)(transition matrix).定义定义定义定义 4.64.64.64.6:设设设设 1 1,2 2,.,.,n n 和和和和 1 1,2 2,.,.,n n 是是是是 n n 维线
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