行列式按行列展开 (2).ppt
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1、例如例如行列式按行按列展开行列式按行按列展开行列式按行按列展开行列式按行按列展开一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式在在在在 阶行列式中,把元素阶行列式中,把元素阶行列式中,把元素阶行列式中,把元素 所在的第所在的第所在的第所在的第 行和第行和第行和第行和第 列划去后,留下来的列划去后,留下来的列划去后,留下来的列划去后,留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的的的余子式余子式余子式余子式,记作,记作,记作,记作叫做元素叫做元素叫做元素叫做元素 的的的的代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式例如例如例
2、如例如行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即应的代数余子式乘积之和,即应的代数余子式乘积之和,即应的代数余子式乘积之和,即行列式按行(列)展开法则行列式按行(列)展开法则行列式按行(列)展开法则行列式按行(列)展开法则定理定理定理定理证明证明证明证明(分三步)分三步)分三步)分三步)第一步第一步第一步第一步得得得得把把把把D D的第的第的第的第 i i 行依次与行依次与行依次与行依次与第第第第i i+1 +1 行,第行,第行,第行,第i i+2 +
3、2 行行行行,第第第第 n n 行对调行对调行对调行对调为什么依次为什么依次为什么依次为什么依次对调行对调行对调行对调行?第二步第二步第二步第二步再把再把再把再把D D的第的第的第的第j j 列依次与第列依次与第列依次与第列依次与第j+1 j+1 列,第列,第列,第列,第j+2 j+2 列列列列,第第第第n n 列对调列对调列对调列对调一个一个一个一个 阶行列式,如果其中第阶行列式,如果其中第阶行列式,如果其中第阶行列式,如果其中第 行所有元素除行所有元素除行所有元素除行所有元素除 外都为零,那末这行列式等于外都为零,那末这行列式等于外都为零,那末这行列式等于外都为零,那末这行列式等于 与它的
4、代数余子与它的代数余子与它的代数余子与它的代数余子式的乘积,即式的乘积,即式的乘积,即式的乘积,即 例如例如第三步第三步第三步第三步例例1行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即应元素的代数余子式乘积之和等于零,即代数余子式的重要性质代数余子式的重要性质推论推论推论推论 证证用用用用数学归纳法数学归纳法数学归纳法数学归纳法例例证明范德蒙德证明范德蒙德证明范德蒙德证明范德蒙德(VandermondeVandermonde)行列式行列式行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式例例 计算行列式计算行列式解解例
5、例 计算计算 阶行列式阶行列式解解将将第第 都加到第一列得都加到第一列得用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例解解提取第一列的公因子,得提取第一列的公因子,得提取第一列的公因子,得提取第一列的公因子,得将第一列的将第一列的将第一列的将第一列的-a a1 1倍加到第倍加到第倍加到第倍加到第2 2列,列,列,列,-a a2 2倍加到第倍加到第倍加到第倍加到第3 3列列列列 ,-,-a an n倍加到最后一列,得倍加到最后一列,得倍加到最后一列,得倍加到最后一列,得本题利用行列式的性质,采用本题利用行列式的性质,采用本题利用行列式的性质,采用本题利用行列式的性质,采用“化零化零化零化零”的方法
6、,逐的方法,逐的方法,逐的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行(列)及含零较多的行(列);尽量选含有的行(列)及含零较多的行(列);尽量选含有的行(列)及含零较多的行(列);尽量选含有的行(列)及含零较多的行(列);若没有,则可适当选取便于化零的数,或利用若没有,则可适当选取便于化零的数,或利用若没有,则可适当选取便于化零的数,或利用若没有,则可适当选取便于化零的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数化为行列式性质将某行(列)中的某数化为行列式性质
7、将某行(列)中的某数化为行列式性质将某行(列)中的某数化为1 1 1 1;若所给;若所给;若所给;若所给行列式中元素间具有某些特点,则应充分利用行列式中元素间具有某些特点,则应充分利用行列式中元素间具有某些特点,则应充分利用行列式中元素间具有某些特点,则应充分利用这些特点,应用行列式性质,以达到化为三角形这些特点,应用行列式性质,以达到化为三角形这些特点,应用行列式性质,以达到化为三角形这些特点,应用行列式性质,以达到化为三角形行列式之目的行列式之目的行列式之目的行列式之目的评注评注评注评注用降阶法计算用降阶法计算例例计算计算解解将行列式的第将行列式的第将行列式的第将行列式的第2 2、3 3、
8、4 4行都加到第行都加到第行都加到第行都加到第1 1行,并提取行,并提取行,并提取行,并提取第一行的公因子第一行的公因子第一行的公因子第一行的公因子按第一行展开得按第一行展开得按第一行展开得按第一行展开得把第二行加到第一行,再提取公因子得:把第二行加到第一行,再提取公因子得:把第二行加到第一行,再提取公因子得:把第二行加到第一行,再提取公因子得:第二列减去第一列得第二列减去第一列得第二列减去第一列得第二列减去第一列得按第一行展开按第一行展开按第一行展开按第一行展开本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行(列)本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行(列)本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行
9、(列)本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行(列)化成只含有一个非零元素,然后按此行(列)展开,化成只含有一个非零元素,然后按此行(列)展开,化成只含有一个非零元素,然后按此行(列)展开,化成只含有一个非零元素,然后按此行(列)展开,每展开一次,行列式的阶数可降低每展开一次,行列式的阶数可降低每展开一次,行列式的阶数可降低每展开一次,行列式的阶数可降低 1 1阶,如此继续阶,如此继续阶,如此继续阶,如此继续进行,直到行列式能直接计算出来为止(一般展开进行,直到行列式能直接计算出来为止(一般展开进行,直到行列式能直接计算出来为止(一般展开进行,直到行列式能直接计算出来为止(一般展开成二阶行列式
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