应力张量应变张量与应力.ppt
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1、第五章第五章 应力张量应力张量 应变张量应变张量 与应力与应力-应变关系应变关系 本章拟进一步讨论应力、应变的性质及线性弹性应力与应变关系的一般规律,它将有助于对问题的深入认识。5-1 应力分量的坐标变换应力分量的坐标变换 应力张量应力张量 5-2 主应力主应力 应力张量不变量应力张量不变量 5-3 最大剪应力最大剪应力 5-4 笛卡尔张量基础笛卡尔张量基础 5-5 物体内无限邻近两点位置的变化物体内无限邻近两点位置的变化 转动张量转动张量 5-6 应变的坐标变换应变的坐标变换 应变张量应变张量 5-7 主应变主应变 应变张量不变量应变张量不变量5-8 广义广义HookeHooke定律的一般形
2、式定律的一般形式 5-9 弹性体变形过程中的能量弹性体变形过程中的能量5-10 应变能和应变余能应变能和应变余能5-11 各向异性弹性体的应力各向异性弹性体的应力-应变关系应变关系 5-12 各向同性弹性体应力各向同性弹性体应力-应变关系应变关系5-13 各向同性弹性体各弹性常数间的各向同性弹性体各弹性常数间的 关系关系 5-1 5-1 应力分量的坐标变换应力分量的坐标变换 应力张量应力张量 在给定载荷作用下,物体内过一点的任意斜截面上应力的大小和方向都是确定的,即一点的应力状态是确定的。它不随所取坐标系而变化。但描述一点应力状态的应力分量又是在确定的坐标系下确定的,它随坐标系的不同而不同。我
3、们通常习惯的右手坐标系,下面首先考察旋转变换的情形:考察物体内任一点o。设oxyz为旧坐标系下o点处的局部标架(图5-1(a),单位基矢量为,相应的应力分量为:设 为新坐标系下o点处的局部标架,单位基矢量为,相应的应力分量:新、旧坐标系下坐标轴间的方向余弦为xyz作斜面abc 垂直于 轴,作用于该微面上的应力矢量为。用旧系下沿坐标轴的三个分量和,及Cauchy公式(2-4)式)可将 表为 在新系下,沿坐标轴的三个分量即为新系下该面上的三个应力分量 、和 。将 向 、和轴方向投影,并注意到这里 及剪应力互等关系 得 三个式子合起来,可简写为:同理,取微斜面abc分别垂直于 、,可以得到新系下的其
4、余六个应力分量与旧系下九个应力分量间的类似关系:(3)(4)(2)(2)(4)式可以统一写为(5-1)这就是应力转轴公式,式中 或 称为转换系数。在数学上,将坐标变换符合式(5-1)的一组量称为二阶张量。按此定义,决定一点应力状态的九个应力分量就是一个二阶张量,称为应力张量。在式(5-1)中作指标置换,并利用 的对称性得 应力张量在经坐标变换后,其对称性仍然保持不变。在平面问题中,建立二维的新、旧坐标系如图5-2,新、旧坐标轴的方向余弦为 x y 与前面推导类似 指标的取值为 当取新系为正交曲线坐标系,其中转换系数 为点o处坐标曲线切线方向单位基矢量在旧系下的方向余弦。r 方向 方向 取 同理
5、 这就是极坐标下的应力分量与直角坐标下应力分量的转换公式。反过来,取直角坐标系为新坐标系,极坐标系旧坐标系,根据(5-2)式,用极坐标应力分量表示直角坐标应力分量的关系为:5-2 5-2 主应力主应力 应力张量不变量应力张量不变量Cauchy公式(2-4)给出了过一点任意斜截面上的应力矢量的计算关系,写成矢量的形式有斜面上的应力矢量不仅与该点的应力状态有关,而且与斜面的方向有关。为该截面的正应力,而剪应力为零。(5-4)这个问题的数学描述是,求某个法线方向,使满足方程:(5-5)将(5-4)式代入(5-5)式得:故 整理合并后得 zyx图5-3将上式展开我们把只有正应力,而没有剪应力的平面称为
6、主平面;主平面上的正应力称为主应力;主平面的法线方向,即主应力方向称为主方向。代数上,(5-6)式是关于主方向(5-6)的线性齐次代数方程,它有非零解的条件是,其系数行列式为零,即(5-7)展开后得到关于主应力的三次代数方程(5-7),称为应力张量的特征方程:可以证明方程(5-7)有3个实根,它们对应该点的3个主应力,分别用 表示。(5-9)将(5-9)式与方程组(5-6)中的任意两式联立,即可求出与给定主应力 对应的主方向。是方程(5-7)的三个根,所以,也可以将特征方程写成 展开后有 与式(5-7)比较,得对于一个给定的应力状态,其主应力的大小和方向都是确定的,它不随坐标系的变换而变化,故
7、 也不会因坐标系的变换而改变。这种不因坐标系变换而改变的量,称为不变量.分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。主应力的几个重要性质:(1)主应力为实数 (2)主方向的正交性 设与主应力 对应的主方向为 如果 则 这表明,三个主方向是相互正交的。如果 则 表明 的方向同时与 和 方向垂直;而 可为零,也可以不等于零,即 和 的方向可取与 垂直平面上的任意方向。即与 垂直的方向都是主方向。如果,则 、三者可以是零,也可以不是零,这说明三个主方向可以相互垂直,也可以不垂直,也就是说,任何方向都是主方向。(3)主应力的极值性 命题1:最大(或最小)主应力是相应点处任意截面上正应力的最大(或最小)值
8、。5-3 5-3 最大剪应力最大剪应力现在我们来考察物体内一点P的最大剪应力及其作用面。取应力主轴为参考轴(图5-4)。斜面上应力矢量 的分量及斜面上的正应力分别为:z12y3x图5-4将(1)、(2)式代入斜面上的剪应力公式(2-7)得利用几何关系:得(3)(4)(5)取极值的点也使,将(4)式代入方程 得 下面分三种情况考虑:(1)三个主应力互不相等,即(6)将(6)式的第一式除以,第二式除以,整理后得方程(7)有三组解:(7)第一组是 第二组是 第三组是 有了m、n就可以从(4)中求得相应的l,并运用(5)式得到相应的极值剪应力 ,由(2)式得到极值剪应力面上的正应力。同理可从(3)和(
9、4)中分别消去m和n,按上述方法又可以得到六组解,但其中三组是重复的,独立的解答一共六组,如表5-1所示。表中前三组解答对应于主平面,其上剪应力为零;而后三组解答对应于经过主轴之一而平分其他两主轴夹角的平面,如图5-5示,其上剪应力为 称为主剪应力。如果,则最大剪应力为 即最大剪应力等于最大主应力与最小主应力差的一半,它作用在过oy轴(轴)而平分ox轴(轴)和oz轴(轴)夹角的微分平面上。(2)两主应力相等 为了确定起见,设 则(6)式的第一式已满足,第二式有由此可解得 第一个解 表示平面通过oz轴,将 及 代入(5)式得 即过oz轴的平面都是主平面。第二个解,将其代入(4)式得 它表示了任一
10、个与圆锥面(图5-6)相切的微分面。对应平面上的最大剪应力(3)三个主应力相等,即 过该点的任何微分面上都没有剪应力,即任一平面都是主平面,与5-2的结论也是一致的。z4545yx图5-65-4 5-4 笛卡尔张量基础笛卡尔张量基础 1.坐标变换 考察平面内矢量 的坐标变换关系。新、旧坐标系的方向余弦为 x y 将旧系下的矢量分量 向新系坐标 投影可得矢量 在新坐标系下的分量 进一步可表为 令 则式(5-12)可简记为 (5-12)这就是矢量的坐标变换公式。此式在三维空间中同样成立,这时取(5-12)2.笛卡尔张量 上面证明了,同一矢量,当坐标旋转时,其分量之间满足关系式(5-12)。下面我们
11、将证明如果分量间满足关系(5-12),则它们表示同一矢量。我们注意到新系下的单位基矢量 ,在旧系下的分量即为方向余弦 ,故可用旧系下的基矢量表为反过来有 所以 根据Kroneker 的定义:由上式可得 这就是我们所要证明的结论。定义:在坐标变换时,满足式(5-12)的一组量 称为一阶张量。位移矢量、力矢量都是一阶张量。在5-1中,已知坐标旋转变换时,新、旧系下应力分量之间的坐标转换公式为一般地,可写为(5-16)凡坐标变换符合(5-16)式的一组量 称为二阶张量。决定一点应力状态的九个应力分量 就是一个二阶张量。可以证明Kroneker 为二阶张量。类似地,可以定义n阶张量,即坐标变换满足 的
12、一组量 称为n阶张量。这里的阶数是指指标的个数。标量,比如密度、温度等,它不随坐标变换而变化,即 ,其指标个数为零,称为零阶张量。3.二阶张量的分解(1)任何一个二阶张量都可以分解为一个二阶对称张量和一个二阶反对称张量之和。式中 为对称二阶张量;为反对称二阶张量。(2)任何一个二阶张量都可以分解为一个球张量与一个偏张量之和。则 令 称为球张量;称为偏张量。上式可用矩阵表示为4.张量的运算凡是同阶的两个张量可以相加,并得到一个与原张量同阶的张量,其分量等于原张量中标号相同的诸分量的代数和。设 与 为两个二阶张量,其和为 ,记为 根据二阶张量的定义,两式相加,有 由二阶张量的定义,为二阶张量。(2
13、)张量的外积(并乘)两个张量的外积定义为第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量所组成的集合。张量的外积仍为张量,其阶数为两个张量阶数的和。向量 乘以二阶张量 ,则外积 为三阶张量。由张量的定义,有为三阶张量。(3)张量的缩并 对n阶张量进行缩并,就是对张量的某两个指标求和。张量缩并以后仍为张量,其阶数为阶。阶。为三阶张量,则有 对1、2个指标求和,即令 得 符合一阶张量的坐标变换规律,即三阶张量缩并以后为一个矢量。(4)张量的内积 内积是两个张量先并乘,然后进行缩并的运算。为三阶张量,为二阶张量,其外积为 缩并,为 用不变性的形式记为(5)张量对坐标的导数 在笛卡尔直角坐标系中,
14、张量对坐标的导数仍然是张量,且为比原张量高一阶的张量。由坐标变换关系:(1)设 为三阶张量,在转轴以后的新坐标系下为 按普通的链式求导规则,并注意到(1)式有符合四阶张量的坐标变换规律,故 为四阶张量。则 5.商法则若九个分量 与任何一个向量 按一对指标求和后构成另一向量 必为一个二阶张量。6.二阶张量的性质 设有一个任意二阶张量 ,它与任一个向量 的线性组合仍为一个向量,用 表示,则 这相当于一个变换,它把一个向量变换为另一个向量。若变换后的向量 与 共线,即 经 变换后只改变大小,不改变方向,数学上表为 则向量 的方向称为张量 的主方向或主轴,称为张量 的主值,将(6)式代入(5)式得 为
15、张量的主值,为张量 的主方向。求应力张量主应力及其相应的主方向的方法就可以用来求任意二阶张量的主值和主方向。5-5 5-5 物体内无限邻近两点位置物体内无限邻近两点位置的变化的变化 转动张量转动张量 在2-4中,我们曾指出,物体的位形应由三部分组成:物体的整体刚体位移,单元的变形以及由相邻单元变形引起的本单元的方位的变化。下面分两种情况研究单元绕oz轴的转动。设所考察单元e没有变形。由图5-8的几何关系可知单元e由于相邻单元的变形引起的转角(方位的变化),可用它的角平分线的转动表示为:单元e的剪应变:因为这里 应为负值。下面来考察当单元e有变形时,由于相邻单元的变形所引起的单元e的方位的变化。
16、由图5-9可知单元e方位的变化,即转角 通常令 ,即用两倍转角来表示这一转动,则式(3)可写为同理,可以得到单元e绕oy轴及ox轴的转动。(4b、c)(4a)已知几何方程(5)利用式(4)和(5)反解出三个位移的九个偏导数,写成矩阵的形式,并进行分解得简记为 六个应变分量 和三个转动分量 在纯变形情况下可以完整地描述变形后单元的形位。注意到(4)和(5)式,则有(5-20)(5-19)在(5-19)式中 的分解,为对称部分,称为应变张量,且 ;而 为其反对称部分,称为转动张量。将(5-19)式两边同乘以 ,并注意到相邻两点的位移变化量 ,故得 (5-21)设 和 为物体内无限邻近的两点,在物体
17、发生变形以后,分别移动到 和 ,相应的位移为 和 ,如图5-10示。将(5-21)式展开得(5-22)式(5-22)说明,与P点无限邻近的一点Q的位移由3部分组成:(1)随同P点的平移(2)绕P点的刚性转动(3)线元PQ自身变形 5-6 5-6 应变的坐标变换应变的坐标变换 应变张量应变张量 首先,讨论微线元 的相对伸长。设 的方向余弦为 ,变形后线元为 ,相应的方向余弦为 线元两端点A、B的位移分别为 和 变形前后线元的位置如图5-11所示。B(x+dx,y+dy,z+dz)B(xi+dxi+ui)drA(xi+ui)A(x,y,z)图5-11dr线元 的分量 B点的位移:则变形后的线元矢量
18、的分量:(3)(2)(1)变形后的线元长度 可由下式算出 线元 的相对伸长:于是,变形后线元的长度又可表为(5)(4)将(5)代入(4)式的左边,并将右边展开,得在小变形条件下,略去应变及转角的二次项得(6)将(1)式两边自乘,并注意到几何关系 则有 代入(6)式,两边同除以 得 所以(5-23)将(5-23)式展开,并运用几何方程(2-11),得任一线元的正应变:(5-23)两线元夹角的变化 变形前 变形后 QRdr1dr2PQR dr1dr2P图5-12由关系式(3)可知,变形后两线元矢量分别为(7)由(5)式,变形后两线元的长度分别为(8)变形后线元 的方向余弦为 (9)展开后得:同理可
19、得变形后线元 的方向余弦 (11)展开后(12)由矢量代数,变形前、后线元夹角余弦:(13)(14)将(10)及(12)式代入(14)式,并利用(13)式,得(5-24)由此可见,只要知道了某点的6个应变分量就可以求出过该点任意两个微线元间夹角的变化。令 ,在小变形条件下可得:于是,(5-24)式可以化为(5-25)表示两正交线元直角的变化,按定义就是剪应变。下面研究三维空间中任意三个正交线元的相对伸长和剪应变。取线元 方向为 方向,利用(5-23)式,并注意到 ,可得线元 的正应变分量与旧系下应变分量间的关系:同理,可得 利用(5-25)式,可得新系下的6个剪应变与旧系下应变分量间的关系:(
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