关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵.ppt
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1、15.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵割集矩阵一、有向图一、有向图电路的图是电路拓扑电路的图是电路拓扑结构的抽象描述,若图中每结构的抽象描述,若图中每一支路都一支路都赋予赋予一个一个参考方向参考方向,它成为有向图。它成为有向图。有向图的性质可以用有向图的性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述。矩阵描述。i3i4i5i2i6i1二、关联矩阵二、关联矩阵1、支路和结点关联、支路和结点关联设一条支路连接于某两个结点,则称该支路设一条支路连接于某两个结点,则称该支路与这两个结点相与这两个结点相关联关联。2、关联矩阵、关联矩阵设有向图的结点数为设
2、有向图的结点数为n,支路数为,支路数为b,且所有,且所有结点与支路均加以编号。结点与支路均加以编号。于是,该有向图的关联矩阵为一个于是,该有向图的关联矩阵为一个(nb)阶阶的矩阵,用的矩阵,用Aa表示。表示。它的它的行行对应对应结点结点,列列对应对应支路支路。它的任一元素它的任一元素ajk定义如下:定义如下:它的任一元素它的任一元素ajk定义如下:定义如下:ajk=+1,表示支路,表示支路k与结点与结点j关联并且它的方关联并且它的方向向背离背离结点;结点;ajk=-1,表示支路,表示支路k与结点与结点j关联并且它指向关联并且它指向结点;结点;ajk=0,表示支路,表示支路k与结点与结点j无关联
3、。无关联。Aa=1234123456-10+10-100+1+1-1000-1+1000+1-10+10-13452613、降阶关联矩阵、降阶关联矩阵当把所有行的元素按列相加就得一行全为零的当把所有行的元素按列相加就得一行全为零的元素,所以元素,所以Aa的行的行不是彼此独立不是彼此独立的。的。或者说按或者说按Aa的每一列只有的每一列只有+1和和-1两个非零元素两个非零元素这一特点。这一特点。Aa中的任一行必能从其他中的任一行必能从其他(n-1)行导出。行导出。如果把如果把Aa的任一行划去,剩下的的任一行划去,剩下的(n-1)b矩阵矩阵用用A表示,并称为表示,并称为降阶关联矩阵降阶关联矩阵。今后
4、主要用这种降阶关联矩阵,往往省去今后主要用这种降阶关联矩阵,往往省去“降降阶阶”二字。二字。被划去的行对应的结点可以当作被划去的行对应的结点可以当作参考结点参考结点。Aa=1234123456-10+10-100+1+1-1000-1+1000+1-10+10-1降阶关联矩阵降阶关联矩阵A=-10+1-100+1-100-1+100+10+103452614、用矩阵、用矩阵A表示的表示的KCL的矩阵形式的矩阵形式电路中的电路中的b个支路电流可以用一个个支路电流可以用一个b阶列向量表示阶列向量表示i=i1 i2 ibTAi=结点结点1上的上的i结点结点2上的上的i结点结点(n-1)上的上的i因此
5、有因此有用矩阵用矩阵A表示的表示的 KCL的矩阵形式的矩阵形式Ai=0A=-10+1-100+1-100-1+100+10+10345261Ai=-10+1-100+1-100-1+100+10+10i1i2i3i4i5i6=-i1+i4+i5i1-i2+i3-i3-i4+i6=05、用矩阵、用矩阵A表示的表示的KVL的矩阵形式的矩阵形式电路中的电路中的b个支路电压可以用一个个支路电压可以用一个b阶列向量表示阶列向量表示u=u1 u2 ubT(n-1)个结点电压可以用一个个结点电压可以用一个(n-1)阶列向量表示阶列向量表示un=un1 un2 un(n-1)T用矩阵用矩阵A表示的表示的KVL
6、的矩阵形式的矩阵形式u=ATun 上式表明电路中的各支路电压可以用与该上式表明电路中的各支路电压可以用与该支路关联的两个结点的结点电压表示,这正是支路关联的两个结点的结点电压表示,这正是结结点电压法点电压法的的思想思想。A=-10+1-100+1-100-1+100+10+10345261=u1u2u3u4u5u6=-1-1100000-1-101100110un1un2un3un1un2un3+un3+un3-un2-un2-un1-un1u=ATun 三、回路矩阵三、回路矩阵1、独立回路矩阵、独立回路矩阵简称回路矩阵。简称回路矩阵。设有向图的独立回路数为设有向图的独立回路数为l,支路数为,
7、支路数为b,对所,对所有独立回路和支路均加以编号,有独立回路和支路均加以编号,于是,该有向图的回路矩阵是一个于是,该有向图的回路矩阵是一个lb的矩阵,的矩阵,用用B表示。表示。B的的行行对应一个对应一个回路回路,列列对应于对应于支路支路,它的任一元素,它的任一元素,bjk定义如下:定义如下:bjk=+1,表示支路,表示支路k与回路与回路j关联,并且它们的关联,并且它们的方向方向一致一致;bjk=-1,表示支路,表示支路k与回路与回路j关联,并且它们的关联,并且它们的方向相反;方向相反;bjk=0,表示支路,表示支路k与回路与回路j无关联。无关联。B=1231234560001-11345261
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