wureverse 第4章 机械振动yhc.ppt
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1、力学 振动力学授课教师 杨宏春力学力学力学力学内容结构内容结构内容结构内容结构力学的内容结构体系力学的内容结构体系力学的内容结构体系力学的内容结构体系振动力学振动力学振动力学振动力学动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程4.1 简谐振动的动力学方程与运动学方程简谐振动的动力学方程与运动学方程4.1.1 典型简谐振动的动力学方程典型简谐振动的动力学方程(1)弹簧谐振子弹簧谐振子谐振子模型谐振子模型牛顿第二定律牛顿第二定律(2)单摆单摆回复力方程回复力方程牛顿第二定律牛顿第二定律(3)复摆复摆回复力矩方程回复力矩方程刚体转动定律刚体转动定律(4)LC振荡电路振荡电路线圈电动势线圈电动势电容电压电
2、容电压讨论讨论 各类简谐振动问题的动力学方程具有相同形式的微分方程各类简谐振动问题的动力学方程具有相同形式的微分方程 动力学方程中,动力学方程中,2 包含了各典型振动的具体特征包含了各典型振动的具体特征振动力学振动力学振动力学振动力学动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程例例4.1.1 比重计圆筒半径为比重计圆筒半径为 d,液体密度为,液体密度为 ,不计液体粘滞阻力不计液体粘滞阻力证明证明:用力下压处于平衡的比重计,放手后比重计将作简谐振动:用力下压处于平衡的比重计,放手后比重计将作简谐振动 证明证明:以比重计平衡位置为原点建立图示坐标系:以比重计平衡位置为原点建立图示坐标系平衡时平衡时偏离
3、平衡位置位移为偏离平衡位置位移为 x 时时振动力学振动力学振动力学振动力学动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程由牛顿第二定律可得比重计运动的动力学方程为由牛顿第二定律可得比重计运动的动力学方程为定义定义 得得4.1.2 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程振动力学振动力学振动力学振动力学运动学方程运动学方程运动学方程运动学方程简谐振动动力学方程的一般形式简谐振动动力学方程的一般形式动力学方程的解动力学方程的解运动学方程运动学方程(1)运动学方程运动学方程简谐振动的速度、加速度简谐振动的速度、加速度简谐振动总能量简谐振动总能量(2)描述简谐振动的解析参量描述简谐振动的解析参量振动力学振动
4、力学振动力学振动力学运动学方程运动学方程运动学方程运动学方程振幅振幅(A)谐振子距离平衡位置最大位移的绝对值谐振子距离平衡位置最大位移的绝对值振幅还表示了振动系统的总能量振幅还表示了振动系统的总能量 E A2,(E=kA2/2)全振动全振动 谐振子从某振动状态开始,发生周而复始的一次变化谐振子从某振动状态开始,发生周而复始的一次变化周期周期(T)谐振子完成一次全振动所需时间谐振子完成一次全振动所需时间频率频率(f)单位时间内谐振子完成全振动的次数单位时间内谐振子完成全振动的次数角频率角频率()谐振子在谐振子在 2 秒秒内所作的全振动的次数内所作的全振动的次数振动力学振动力学振动力学振动力学运动
5、学方程运动学方程运动学方程运动学方程初相位初相位()振子的初始振动状态振子的初始振动状态相位相位(t+)振子振子 t 时刻的振动状态时刻的振动状态课堂讨论课堂讨论:相位参量的双值问题及求解:相位参量的双值问题及求解运动学方程运动学方程速度方程速度方程结论结论:时刻:时刻 t,相位参数的双值问题可以通过运动学方程和速度方程判定,相位参数的双值问题可以通过运动学方程和速度方程判定例例4.1.2 已知已知 A=0.12 m,T=2 s。当。当t=0 时,时,x0=0.06 m,且,且 vx0求求:(1)谐振动方程谐振动方程(2)当当 t=2 s 时,质点的位置、速度、加速度时,质点的位置、速度、加速
6、度(3)由初始时刻到由初始时刻到 x=-0.06 m 处所需的最短时间处所需的最短时间解解:(1)因因 T=2 s振动力学振动力学振动力学振动力学运动学方程运动学方程运动学方程运动学方程A=0.12 m,T=2 s,x0=0.06 m运动学方程运动学方程(2)当当 t=0.5 s 时,质点的位置、速度、加速度时,质点的位置、速度、加速度x=0.104 m,v=-0.189 m/s,a=-1.03 m/s2(3)当当 x=-0.06 m 时,由运动学方程时,由运动学方程由题意,质点沿由题意,质点沿 x 负方向运动到负方向运动到 x=-0.06 m所需时间最短所需时间最短振动力学振动力学振动力学振
7、动力学运动学方程运动学方程运动学方程运动学方程例例4.1.3 证明匀速圆周运动在证明匀速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动轴上的分量是一简谐振动证明证明:物体角速度:物体角速度 ,初始位置与,初始位置与 x 轴夹角为轴夹角为,时刻,时刻 t 在在 x 轴上的位移轴上的位移满足简谐振动运动学方程,匀速圆周运动在满足简谐振动运动学方程,匀速圆周运动在 x 轴上的分量是简谐振动轴上的分量是简谐振动讨论讨论:代表物体运动的角速度,又称简谐振动的角速度或角频率代表物体运动的角速度,又称简谐振动的角速度或角频率 匀速圆周运动在匀速圆周运动在 x 轴上的分量是简谐振动的轴上的分量是简谐振动的物理图像物理图像
8、 高中简谐振动的高中简谐振动的物理实验物理实验振动力学振动力学振动力学振动力学运动学方程运动学方程运动学方程运动学方程(3)简谐振动的几何描述简谐振动的几何描述旋转矢量法旋转矢量法A 物理模型物理模型B 旋转矢量方法:旋转矢量方法:用矢量作匀速圆周运动的图形来表示简谐振动用矢量作匀速圆周运动的图形来表示简谐振动例例4.1.4 如图,如图,A=20 cm,m=10 g,T=4 s;t=0时,时,x0=-10 cm,此时,此时,vx 0求求:(1)t=1 s 时的位移时的位移(2)何时物体第一次到达何时物体第一次到达 x=10 cm (3)经多少时间第二次到达经多少时间第二次到达x=10 cm,此
9、时的速度、加速度,此时的速度、加速度振动力学振动力学振动力学振动力学运动学方程运动学方程运动学方程运动学方程解解:由题给条件和旋转矢量方法,初始时刻振幅矢量位置:由题给条件和旋转矢量方法,初始时刻振幅矢量位置(2)第一次到达第一次到达 x=10 cm时,时,m刚运动了半个周期刚运动了半个周期(1)t=1s 时时(cm)(s)(3)物体需再旋转物体需再旋转2/3再次到达再次到达 x=10 cm,从,从t=0算起,需经时间间隔算起,需经时间间隔T/2+T/3=10/3(s)将将 t=10/3 s 代入速度、加速度计算公式代入速度、加速度计算公式(cm/s)(cm/s2)振动力学振动力学振动力学振动
10、力学振动的能量振动的能量振动的能量振动的能量4.2简谐振动简谐振动的能量的能量谐振子谐振子势能势能谐振子谐振子动能动能(1)简谐振动简谐振动的的瞬时瞬时机械能机械能谐振子谐振子机械能机械能振动力学振动力学振动力学振动力学振动的能量振动的能量振动的能量振动的能量(2)简谐振动简谐振动的能量平均值的能量平均值弹簧振子在一个周期内的平均动能、平均势能弹簧振子在一个周期内的平均动能、平均势能结论结论 谐振子的瞬时能量谐振子的瞬时能量守恒守恒、且等于一个周期的平均总能量、且等于一个周期的平均总能量 平均动能、平均势能等于总平均能量的一半平均动能、平均势能等于总平均能量的一半(3)简谐振动简谐振动的能量的
11、能量与动力学方程与动力学方程振动力学振动力学振动力学振动力学振动的能量振动的能量振动的能量振动的能量简谐振动的能量简谐振动的能量简谐振动能量守恒简谐振动能量守恒例例4.2.1 定滑轮的半径定滑轮的半径 R,转动惯量,转动惯量 I,弹簧劲度系数,弹簧劲度系数 k,物体质量,物体质量 m证明证明:将物体拉离平衡位置后的自由振动为简谐振动:将物体拉离平衡位置后的自由振动为简谐振动(不计体系的不计体系的 摩擦摩擦)证明证明:以平衡位置为原点,建立坐标系,物体系的机械能为:以平衡位置为原点,建立坐标系,物体系的机械能为对上式求时间一次导对上式求时间一次导定义定义有有(4)微振动系统的简谐近似微振动系统的
12、简谐近似 系统在平衡位置作微振动,将势能函数在系统在平衡位置作微振动,将势能函数在 x=x0 附近作级数展开附近作级数展开在平衡位置处,势能的一阶导数为零,忽略高阶级数项在平衡位置处,势能的一阶导数为零,忽略高阶级数项 保守力为保守力为 振动力学振动力学振动力学振动力学振动的能量振动的能量振动的能量振动的能量结论结论:作微振动的系统一般都可以看作为简谐振动的系统:作微振动的系统一般都可以看作为简谐振动的系统 振动力学振动力学振动力学振动力学振动的能量振动的能量振动的能量振动的能量例例4.2.2 长为长为 L 的刚性轻杆一端连质量为的刚性轻杆一端连质量为 m 的小球,另一端可绕的小球,另一端可绕
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