双线性函数.ppt
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1、第十章第十章 双线性函数双线性函数10.1 线性函数线性函数10.2 对偶空间对偶空间10.3 双线性函数双线性函数10.4 对称双线性函数对称双线性函数一、一、对偶对偶空间与对偶基空间与对偶基二、对偶空间的有关结果二、对偶空间的有关结果10.2 对偶空间对偶空间 10.210.2 对偶空间对偶空间对偶空间对偶空间一、一、对偶空间与对偶基对偶空间与对偶基1.1.对偶空间对偶空间对偶空间对偶空间设设 是数域是数域 上的上的 维线维线性空性空间间,表示表示上全体上全体线线性函数的集合,性函数的集合,在在 中定义加法中定义加法和数乘运算:和数乘运算:则则 构成数域构成数域 上的上的线线性空性空间间,
2、称之,称之为为V的的对对偶空偶空间间,记为记为定义定义定义定义 10.210.2 对偶空间对偶空间对偶空间对偶空间1.1.对偶基对偶基对偶基对偶基设设 为为数域数域 上上线线性空性空间间 的一的一组组基,基,作映射作映射 则则 ,且,且即,即,有,有,对任意对任意 10.210.2 对偶空间对偶空间对偶空间对偶空间 线线性无关性无关.证证明明:设设两端作用两端作用 得得 中任意中任意线线性函数可由性函数可由 线线性表出性表出.证证明明:,对对 ,设设则则 线性无关线性无关.10.210.2 对偶空间对偶空间对偶空间对偶空间 10.210.2 对偶空间对偶空间对偶空间对偶空间综合综合与与即即得得
3、定理定理2取定取定线性空间线性空间V的一组基的一组基若若V上的上的n个线性函数满足个线性函数满足则则 为为 的一的一组组基基.称之称之为为 的的对对偶基偶基.10.210.2 对偶空间对偶空间对偶空间对偶空间例例.上上线线性空性空间间 ,任意任意 个不同个不同实实数数 根据拉格朗日插根据拉格朗日插值值公式,有多公式,有多项项式式 则则且且 为为 的一的一组组基基.10.210.2 对偶空间对偶空间对偶空间对偶空间这这是因是因为为:线线性无关性无关.事事实实上,若有上,若有用用 依次代入上式依次代入上式则则得得:线线性无关性无关.为为基基.10.210.2 对偶空间对偶空间对偶空间对偶空间则线则
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