复变函数复变函数复变函数 (21).pdf
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1、收稿日期:2016-09-15基金项目:安徽省高等学校质量工程项目(2013jyxm553,2014zy138);安徽省高等学校省级教学团队项目(2015jxtd121,2015jxtd023)。作者简介:储亚伟(1977-),男,安徽阜阳人,阜阳师范学院数学与统计学院副教授,理学博士,主要从事几何分析研究。一类单值分支确定问题的教学探讨 摘要 在复变函数的教学中,多值函数的单值分支确定问题一直是教学的难点,也是研究的热点之一。文章从现行教材中一个颇具争议的例题出发,在给定割线的条件下,给出两种确定根式函数单值分支的直接方法,并运用这两种方法从不同角度给出上述例题的正确解法,不但保证了计算结果
2、的唯一性,有效地解克服了教学难点,也解决了相关文献对现行教材的争议问题。关键词 多值函数;单值分支;割线;辐角 中图分类号 O1745 文献标识码 A 文章编号 1009-9042(2016)11-0108-03在分析数学中,无论是讨论函数的连续性、可导性或解析性,还是研究函数的可积性,都需要在单值函数的前提下进行,因此,多值函数的单值化一直是分析数学在介绍其研究对象 函数时必须面对的重要问题。常见处理多值函数的方法主要有两种:一是统一规定范围,如中学数学中规定或复变函数中规定辐角的取值;另一种是割破复平面,获取单值区域,从而得到多值函数的单值解析分支。然而,在使用后一种方法确定单值分支函数值
3、时,得到的结果往往不唯一。1一道颇具争议的例题在教材 2 中有这样一道例题例 1(1)证 f(z)=3z(1z槡)在将 z 平面适当割开后能分出三个单值解析分支。(2)求在点 z=2 取负值的那个分支在 z=i 的值。因 f(z)的支点是 0,1,教材选取的支割线如下:“将 z 平面沿正实轴从支点 0 到 1 割开,再沿负虚轴割开”,在割开后的 z 平面 G 内,f(z)能分出三个单值解析分支。对于问题(2),教材的解法如下解法一设 z=r1e11,1z=r2ei2,则fk(z)=3r1(z)r2(z槡)ei1(z)+2(z)+2k3,zG,k=0,1,2当 z=2 时,1=0,2=,r1=2
4、,r2=1。由fk(2)=3槡2ei(2k+1)30知 k=1,因此f1(i)=3|i|1i槡|ei2+74+23=(槡2)13ei(512+)=6槡2e512i.解法二由公式f(z2)=|f(z2)|eiCargf(z)eiargf(z1)(11)知,当 z 从 z1=2 沿 G 内一条简单曲线 C 变动到z2=i 时,由图 1,Cargz=2,Carg(1z)=34,于是Cargf(z)=13 Cargz+Carg(1z)=13(2+34)=512.再由题设,可设 argf(2)=(允许相差 2 的整数倍)。故f(i)=3|i|1i槡|eiei512i=6槡2e512i.(12)在教学过程
5、中,当使用解法一时,学生对 z=2时,1=arg2=0,2=arg(1)=以及当 z=i 时,1=argi=2的接受没有任何问题,但对教材给出的 2=arg(1i)=74而非常规思路下 2=4易存质疑。事实上,若取 2=4,则f(i)=3|i|1i槡|ei24+23=6槡2e34i6槡2e512i,即在相同的单值区域内,同一解析分支在相同第 32 卷第 11 期储亚伟等:一类单值分支确定问题的教学探讨点处取值不同!这当然是不可能的。究竟在教材给定的单值区域 G 内,2(i)应取74还是4?由此产生的“如何确定多值函数在单值区域内的确定分支”问题引起许多学者的讨论。针对上述问题,大部分学者均从辐
6、角改变量的角度,按照解法二的思路给出了如下解释:2(2)=,而定点从 2 变到 i 时,Carg(1z)=34,因此2(i)=arg(1i)=+34=74,即教材的两种解法都是正确的。而文献 1使用了规定统一辐角范围的方法,得到 2(i)=4。针对上述问题与争议,本文使用两种直接的方法,得出在教材给定割线的单值区域 G 内,2(i)的正确值应是4,并阐明 2(i)=74的条件,解决了相关文献对现行教材的争议问题。2单支分支求值的两种直接方法一般地,当 0 与 1 均是根式函数 f(z)=nP(z槡)(其中 P(z)为 z 的有理分式)的支点时,在给定支割线的前提下,我们可以使用以下两种直接的方
7、法来确定单支解析分支在指定点处的值:一是直接求辐角改变量的方法。设 p1(z)为函数 P(z)的一个因子函数(如例 1 中的 z 与 1z),其辐角改变量的直接求法如下:首先,把给定点 z1、z2代入函数 p1(z)的表达式,得 p1(z)对应的始、终点 z1=p1(z1)、z2=p1(z2);其次,求以原点为始点的辐角函数 argz 沿着不穿过割线从始点 z1连续变化到终点 z2时的改变量Cargz,这便是函数 p1(z)对应于 z1连续变化到 z2时的辐角改变量;再次,求 P(z)各因子函数辐角改变量之和,即为 CargP(z),从而求得 Cargf(z)=1nCP(z);利用初值条件,把
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