复变函数复变函数复变函数 (13).pdf
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1、30 第第二章二章 解析函数解析函数 复变函数论研究的主要对象是解析函数.本案首先给出了一般解析函数的概念及判别方法,其次给出了几类初等函数单值和多值函数,并研究其性质.他们是初等函数在复数域的推广.1 1、解析函数的概念与解析函数的概念与 CauchyCauchyRiemannRiemann 条件条件 一、目的和要求一、目的和要求 1、充分掌握复数域中函数可导(微)的概念与连续的关系.2、区分函数解析的不同定义,掌握奇点的定义并判断能够判断出奇点;灵活运用解析函数的运算法则、C.R.条件及有关定理与公式.二、重难点二、重难点 1、重点 可导(微)、解析的概念及 C.R.条件.2、难点 可微、
2、解析的判别方法及区别.三、教法与教学手段三、教法与教学手段 课堂讲授法、采用启发式并以例题攻关.电教、CAI 演示.四、教学内容(共四、教学内容(共 2 2 课时)课时)(一一)复变函数的导数和为微分复变函数的导数和为微分 由实数域中函数的可导(可微),形式推广为 定义定义 2.12.1 设()f z为区域 D 内的函数,0zD.若极限 000()()lim()zf zf zzzzz 当 z 以任意形式趋于0z时都存在,有限且相等 ,我们称此极限为函数()f z在点0z的函数,记为()fx,即 00000000()()()()()limlimlimzzzzf zf zf zzf zwfzzzx
3、z +=.设函数()f z在点 z 可导,则 0lim()zwfzz=即 31 ()wfzz=+,0lim0z=()wfzz=+其中z=为比z的高阶无穷小.称()fzz为()wf z=在点 z 的微分,记为dw或者()df z,此时也称()f z 在点 z可微,即()()dwdf zfzz=当()f zz=时,dzz=,有()dwfz dz=即()dwfzdz=注注 易见()wf z=在点 z 可微()f z 在点 z 可导.()wf z=在点 z 可导(微)在点 z 连续.虽然形式上复数域中函数可导一致,但复变函数在一点可导比实变函数形式严得多.复数域中处处连续而处处不可导的例子随手可得.例
4、例 1 1 函数()Ref zz=、z、Imz、z为中处处连续但处处不可导的函数.证证 000000,0ReRe lim,1zzzzzzz=Rez=Rez,RezRez 000limlimlimzzzzzzzzzzzzzzzz +=+=当0z 时,上式极限不存在.因为让z取实数而趋于零时,其极限为 1;让z取纯虚数而趋于零时,其极限为-1.类似可得Imz及z在处极限不存在,据0z的任意性立得要证的结论(连续性显然).例例 2 2 (1)证明()()nf zzn=在处处可微.证证 ()00122110000000,limlimnnnnnnnzzzzzzzzzzzzznzzz=+=据 0z 的任意
5、性立得.证法请观看TB、45p、例 2.2 32 (2)讨论()21,0,0,0.zezf zz=在原点的可导性.解解 当()0zx y=时 ()()()2100010limlim0.0 xxxf xffexx=在平面内 沿实轴()()210001limlim0.0zzzf zfezz=沿虚轴()()210001limlim0nznif zfezn=+.故在内()00f=不存在,在内()0f不存在.练习练习 设()()()2224,0,0,0.x xyyxizf zxyz+=+=证证 当 z 沿任何向径0时()()000f zfz 但()0f 不存在(提示 向径ymx=只需沿一条非向径路线0,
6、如2yx=).(二二)解析函数及其简单性质解析函数及其简单性质 定义定义 2.22.2 (1)若函数()fx在区域 D 内各点可微,称()fx在区域内解析(可微),或者称f为 D 内的解析函数(全纯函数、正则函数).(2)若函数()fx在0z的一个邻域内解析,则称()f x在点0z解析.(3)称函数在闭区域D解析,若存在区域GD,使()f x在G内解析.注注 ()fx在区域D解析D内可微D内点点解析.()fx在点0z解析f在0z某邻域内可微 ()fx在0z可微(反之,不成33 立).定义定义 2.32.3 若()fx在点0z不解析,但在0z的任意邻域内总有()f x的解析点,则称0z为()fx
7、的奇点.例例 ()1f zz=在内以 z=0 为奇点.*一般所遇到的多是分母为 0 的点为奇点.1 1、解析函数的运算法则解析函数的运算法则 (1)设()()12fzfz、在区域 D 内解析,则其和、差、积、商(分母0)仍在 D 内解析,且有:()()()()1212fzfzfzfz=()()()()()()121221fzfzfzfzfzfz=()()()()()()()()()1122122220fzfzfzfzfzfzfzfz=(2)设函数()fz=在区域D内解析,函数()wg=在区域G内解析,且()f DG,则()wgf z=在 D 内解析,且()dgdwdzdz=()()()df z
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