复变函数复变函数复变函数 (9).pdf
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1、收稿日期:2014 10 08*基金项目:河南省自然科学基金项目“多乘积规划的全局最优化算法研究”(编号:142300410352);河南省高等学校青年骨干教师资助计划项目“一类整环上一亢多项式环的理想的构造及其应用”(编号:2014GGJS 193)作者简介:王磊(1983)男,河南沁阳人,焦作师范高等专科学校应用数学研究所讲师,硕士,主要从事于基础数学复分析研究.复变函数中未定式极限的求解*摘要:在复变函数中,由于自变量 z 属于复平面,因此未定式的极限求解问题是比较麻烦的,并且教材中没有求解未定式极限的相关法则和定理 通过利用洛朗展式和阶的性质法,在此给出并论证了两种求解未定式极限的方法
2、,一个是改进后的洛必达法则,一个是零点或极点的阶的比较法关键词:复变函数;未定式极限;洛必达法则;零点的阶;极点的阶;洛朗展式中图分类号:O174 51文献标识码:A文章编号:1672 3465(2014)04 0070 030 引言在实分析中,如数学分析,高等数学等相关课程中,未定式的极限是可以利用洛必达法则求解的,洛必达法则是利用拉格朗日中值定理证明得出的 但在复分析的复变函数课程里,微分中值定理是不成立的,例如复指数函数 ez就是一个周期函数,但是其导数恒不为 0,明显罗尔中值定理不成立,罗尔的后续定理如拉格朗日中值定理,柯西中值定理随之亦不成立,本文进行了详细的阐述另外,在 zz0时,
3、分式未定式极限的求解中,我们会注意到 z0点往往就是分子,分母的零点或者极点,而复变函数课程中对零点的阶,极点的阶是有详细研究的,本文顺势给出了阶的比较法求解未定式极限1 未定式00型的极限复变函数教材中是没有洛必达法则的,只在第二章习题中给出了一个残缺版的洛必达法则,形式如下1:若 f(z)和 g(z)在点 z0解析,且 f(z0)=g(z0)=0,g(z0)0,则有limzz0f(z)g(z)=f(z0)g(z0)这个结论可以通过导数的定义法来证明,在此省略 我们需要注意到的是,结论式右侧是没有极限号的,直接是 f(z)和g(z)在点 z0处的导数之比,这个结论应用时只有一次求导机会,如果
4、求导后还是未定式,就没办法了,所以我们称之为残缺版洛必达法则那么复变函数中有没有和实分析里形式相仿的洛必达法则呢?这个还是有的,我们摘抄了一个如下,洛必达法则2:设复变函数f(z)和g(z)满足(1)在点z0的某去心邻域0|z z0|r内定义可导(即解析);(2)limzz0f(z)=limzz0g(z)=0(3)极限limzz0f(z)g(z)存在,则有limzz0f(z)g(z)=limzz0f(z)g(z)我们可以看到和实分析中的洛必达法则的形式是非常一致的,应用起来也是非常方便的,在参考文献 2中有很多例题去应用其实,上述形式的洛必达法则还是可以改进的,因为复变函数中解析性是非常好的,
5、如无穷可微,级数展开等等,本文给出如下形式的洛必达法则:定理 1 1设复变函数f(z)和g(z)满足(1)在点z0的某去心邻域0|z z0|r内解析;(2)limzz0f(z)=limzz0g(z)=0,则有limzz0f(z)g(z)=limzz0f(z)g(z)证明:由条件 1 去心邻域内解析,故由洛朗定理知,函数 f(z)和 g(z)均可展开为洛朗级数即双边幂级07王磊,等:复变函数中未定式极限的求解数,形式如:f(z)=+n=cn(z z0)n,g(z)=+n=bn(z z0)n下证没有负幂部分即主要部分,若在点 z0解析,则为泰勒级数,无负幂;若在点 z0不解析,则点 z0是孤立奇点
6、,由条件2 limzz0f(z)=limzz0g(z)=0 知,点 z0为可去奇点,无负幂 并且展开式中常数项为零(因展式两侧同取极限为 0),我们用自然数 p,q 表示正则部分中首个不为零的项综上,可知级数展式为:f(z)=cp(z z0)p+cp+1(z z0)p+1+cp+2(z z0)p+2+g(z)=bq(z z0)q+bq+1(z z0)q+1+bq+2(z z0)q+2+其中 cp,bq 0则有limzz0f(z)g(z)=limzz0cp(z z0)p+cp+1(z z0)p+1+cp+2(z z0)p+2+bq(z z0)q+bq+1(z z0)q+1+bq+2(z z0)q
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