复变函数复变函数复变函数 (5).pdf
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1、15 2、复平面上的点集复平面上的点集 一、一、目的和要求目的和要求 1、掌握点0z的邻域及定义 1.1定义 1.4 关于平面点集的几个基本概念.2、理解区域与约当曲线的概念,掌握有界集及简单闭曲线方向.3、掌握约当定理;判定区域的连通性,比较单连通区域和多连通区域的差异性;画出点集的示意图;充分理解复变函数的概念.二、二、重难点重难点 1、重点 邻域及与之相关的点集概念,区域,约当曲线,单、多连通区域及有界集,复变函数.2、难点 一些等价关系定义的理解.三三、教法与教学手段教法与教学手段 采用启发式课堂讲授法为主;电教,CAI 演示.四四、教学内容教学内容 (共 2 课时)(一)(一)基本概
2、念基本概念(复习提问实分析中相关概念)1 1、邻域邻域 设0,0z满足0|zz的所在点,z所有点所成云集称为点0z的一邻域,记为 0()Nz,即:0()Nz为以0z为中心,为半径的圆(盘),去心邻域 00|zz之点集 角度 1 ih 点相对于集的位置.角度 2 ih 点周围是否聚集集中无限多个点.2 2、点与集合点与集合 设0z,E 为平面点集(E)则有(1)聚点(极限点)若0z的任何邻域N中都有含E的无穷多个点(0z未必属于E)则称0z为E的一个聚点,下列关于聚点的定义等价 (a)0z的任一邻域都含有异于0z而属于E的一个点.(b)0z的任一邻域都含有E的两个点.(c)可以从E中取出点列 1
3、2,.,.nz zz异于0z,且以0z为极限.注注 点列12,.,.nz zz(记为 nz)的聚点 or 极限点为00zz的任一邻域含有此点列的无穷多个点.(2)孤立点 若0z的一个邻域N,得 0NEz=,则称0z为E的孤立点.16 (3)内点 若0z的一个邻域0()Nz,0()NzE,称0z为E的一个内点.(4)外点 若000,zEzEzE且 不是 的聚点,称 为 外点(5)边界点 若对0z的任一邻域0()Nz,都含有E中的点,也含有非E中的点,则称0z为E边界点.(6)边界 E的全体边界点所成之集称为E的边界,记为E.以上几种点集的关系如下(注 距离空间中皆真)(7)开集 若E中点皆为内点
4、,称E为开集(如邻域).(8)闭集 若E含有所有聚点,则称E为闭集单点集,有限点集,IN皆为闭集.(9)有界集 若0,|(0)MMEzzMN=,称E为有界集,直径()sup|,d EzzzE zE=否则,称E为无界集.例例 1 1 (1)点集121,.,.23niiiin中除点 i 是它的聚点外,其余参点皆为其孤立点.(2)点集1123341,.,.2232431nniiiinn+中每一点皆为孤立点,1 i+是其聚点却不属于它.(3),QQIR QIR QIR=例例 2 2 设E为单位圆,|1z 内非实数的点集,求E的内点,外点,边界点,聚点和孤内点 界点 外点 聚点 孤立点 17 立点.解解
5、 对 0min 1|,|zxiyEzy=+取,则 0()NzEzE为 内点 E为开集 设 2|1(11)Ezzorzxx=,对于 2zE,0,(),NzE 222()NzEEE=设3|1Ezz=聚点集 31|1Ezz=(二)(二)区域与曲线区域与曲线 1 1、区域区域 (连通开集)定义定义(1)非空点集D称为区域,若D为开集D中任何两点可用完全属于D的折线相连接(连通性)(2)若区域D为一个有界集,则称D为一个有界区域.否则就称为无界区域.(3)DD称为闭区域,记为DDD=+.注注 区域是开集,不包含其边界,除全平面外,区域不是闭区间,闭区间不是区域.例例 3 3 z平面上的圆盘|(0)zR
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