复变函数复变函数复变函数 (8).pdf
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1、21 3、复数函数复数函数 一、一、目的和要求目的和要求 1、掌握复变函数及相关的定义,掌握复变函数极限连续的定义及其等价刻画定理,找出复变函数和数学分析的异同.2、复述出极限连续的性质,掌握复球面及无穷远点的相关概念及相关规定定,掌握拓扑性质.二、二、重难点重难点 1、重点 复变函数概念极限连续及等价刻画.2、难点 复变极限,无穷远点的某些概念.三三、教教法和教学手段法和教学手段 课堂讲授法采用启发式,讨论式;使用网络平台与手机开展信息化教学 四四、教学内容教学内容 (共 2 课时)(一一)基本概念基本概念 (提问处)复习单、多值复变函数的概念,引入 定义(从映射角度考虑)取两张复平面 z平
2、面和w平面,此时()wf z可视为z平面到w平面的一个映射(变换),设E、F分别为z平面和w平面上的点集.(1)若,zEwF 与之对应,称()wf z为E到F的内映射(or 入变换),即()f EF(2)若(),()f EFzEf zw 且使,则称()wf z称为E到F的映射(满变换)(3)若()f EF则对F中的任一w,存在一个(几个)点z,使()f zw则,在F上也确定了一个单(多)值函数,它成为()wf z的反函数或变换()wf z的逆变换,记为1()zfw,若()wf z,1()zfw均为单值函数,则称()wf z,是EF的一个双方单值照应或一一变换.注注 (1)映射这一概念的引入,对
3、于复变函数论的进一步发展,特别是在解析函数的几何理论方面起着重要作用,因它给出了函数的分析表示和几何表示的综合,此综合是函数论发展的基础和新问题不断出现的源泉之一,生物理学的许多领域中有着重要作用.(4)当f是满射时,对,wF 有1()f fww当()wf z为双方单值射影时,对,zE 有1()f fzz.22 例例 1 1 在变换wiz下,圆周|1|1z 变成何曲线?解解 设,iizrewe,因为()2,2iiwizerer 故wiz把z平面上的圆周|1|1z 变成w平面上圆周|1wi 例例1 1 问函数2wz把下列z平面上曲线映成w平面上何曲线?(1)以原点为心;z为半径,在第一象限里的圆
4、弧.(2)倾角为3的直线.(3)双曲线224xy 解解 (1)2|,2wzArgwArgz变成以原点为心,4 为半径,在u轴上方的半圆.(2)把 3的直线视为两对线 arg3z及 arg3z经2wz后变成2arg3z的射线.(3)2222()2wzxiyxyixy,因为,xyIR所以在w平面上的像为4u 的直线.(二)复数(二)复数的极限与连续的极限与连续 1、极限极限(1)定义 设()f zw为定义在点集E上的函数,0z为E聚点,若0,0,w 对0,00|zz当时()zE恒有 0|()|f zw,则称()f z沿E于0z有极限0w,记为 00lim()zzz Ef zw 注注 E为平面点集,
5、0zz 要求z在E上沿任意方向趋于0z,而实分析中0lim()xxf x中0 xx仅在x轴上,x沿0 x左右两个方向区域0 x 23 几何意义 见 T、B P30.例例2 2 (1)设|(),0 xyf zxiyz,当z沿射线:,(0)c xt yt t 趋于 0 时,极限为 0()|lim()zzf zi 其值因,不同而不同,故()0f zz 在处极限不存在.(2)试证 0Relimzzz及0lim|zzz不存在 证证 仅证0lim|zzz不存在,设zxiy 当z沿正实轴0时,00,lim1|zzzxz 当当z沿负实轴0时,00,lim1|zzzxz 故 0lim|zzz不存在.2 2、性质
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