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1、求最值:综合题知识与方法高考题中求最值的基本思想不外乎三种:1 .将目标表示成角4或角氏C)的函数关系,利用三角函数求最值.2 .将目标表示成边a,b,c的表达式,借助不等式或函数思想求最值.3 .分析问题的几何背景,结合图形求最值.在AABC中,角A,氏。所对边长分别为。也。,若片+/=2,则cos。的最小值为()B.D.2 * M _ 2【解析】由余弦定理,得cosC= + -C2ab2或网=_L,当且仅当时,等号成立,即4ab 4ah 2cosC的最小值为. 2【答案】C【提炼】(1)代入消元,化掉等式中的。2;【提炼】(1)代入消元,化掉等式中的。2;(2)用不等式。2十属2c活求最值
2、.若aABC的面积为(2+,一/),且nc为钝角,则 4 =;的取值范围是 a【解析】J一之=2qccos5,AABC的面积S = acsinB =2a1 +c2 -Z?2) =- 2accosB = tan B = a/3 ,所以 8 .故 A + C =43sin所以。= 3-A,因为NC为钝角,所以一 3sin所以。= 3-A,因为NC为钝角,所以一 3朋-AI 3sin AV3.1 .人-cosA + sin A 22sin A173=I2 2 tan A由 OvAv 三知,0 tan A 63 tan A6所以工2.a【答案】-(2,+oo)【提炼】(1)利用正弦定理将色边化角; a
3、(2)选取角A作为变量表示色,运用三角函数求范围.a在锐角 AABC 中,BC = 1,B = 2A,则,J cos A的值等于,AC的取值范围为b Ar【解析】B = 2A = sin B = sin 2A = sin B = 2sin Acos A =Z? = 2。cos A, BC = 1 = q = 1 n= 2,cos A cos A八45。是锐角三8$4,故 AC = 2cosA(0,6).2【答案】2(衣而【提炼】11AA3C为锐角三角形 内角A,反。都是锐角;(2)变量函数思想求范围.4. (2022 全国甲卷理 16 )已知AABC中,点。在边3c上,ZADB = 12O.A
4、D= 2,CD = 2BD ,当上取得最小值时, ABBD =.【解析】如图,由题意,ZADB = 12O ,所以NADC = 60。,设=则CD = 2x,由余弦定理,由余弦定理,AB2=AD2 + BD2 2ADBD cos ZADB =4 + x2+2jc,AC2 = AD1 + CD2 -2Ar Cr)cosZAZ)C = 4 + 4x2-4x, 从而AC2 = AD1 + CD2 -2Ar Cr)cosZAZ)C = 4 + 4x2-4x, 从而% = 4 + 4%2 4% = 412+2% + 4)12 Qx + l)印_12AB2 4 + f+2xd+2x + 4(x + l)2
5、+3 .一一 3.124-2,当且仅当1 + = 2 (x + 1)-X+1Vx + 1所以当任取得最小值时,bd = 6-. AB即工=指一1时取等号,【答案】V3-1在AABC中,角A,氏。的对边分别为。也。,已知2(tanA + tan3) = ai4 + 3 cosB cos A(I)证明:a + b = 2c;(II)求cosC的最小值.【解析】(I) 2(tanA + tanB) = 2sin A sin B ,1I cos A cos B J2(sin Acos B + sin Bcos A) 2sin(A + B) 2sin Ccos Acos B ,cos A cos Bco
6、s A cos Btan A tan B+sin A sin B+sin A + sin BcosB cos A cos Acos B cos Acos B cos Acos BUi、1 2sinC sin A + sin 3所以=cos A cos Bcos A cos B故2sin C = sin A + sin 3,由正弦定理可得2c = a + Z?./ tt、An 什、 一 片 + /?“ 一 c?( + by 2ab (H)解法 1: cosC =2ab2ablab2ab当且仅当a = 时.,等号成立,此时AA3C为正三角形,故cos。的最小值为29992 + /- a +b -c
7、角牛法 2: cos C =2ab2abby_l_ 324 8当且仅当=时 等号成立,此时AA5C为正三角形,故cosC的最小值为, 26. ()在 AABC 中,a2 +c2 =h2 0cle .(I)求角3的大小;(II)求 Jcos A + cosC 的最大值.【解析】由题意,a2c2-b2=2ac,11 门+, b yfCLC a/2故 cos 3 =,2ac 2ac 23ti A cosAI 4又因为3(0,4),故3 =工. 4C = 7T-A- B = - A, a/2 cos A + cos C =垃 cos A + 4a/2 cos A +cosA +正 2sin A = s
8、in A + 一I 4所以Aeo,2,故当a + 2=土,即人=工时,0cosA + cosC取最大值1.(4 J424【提炼】求最值的目标&cosA + cosC含角AC两个变量,故可运用人+。=包消元,化为单变量函数 4处理.7. (2020)浙江 18 )在锐角AABC中,角A民。的对边长分别为。力,。,且2bsinA = &L(I)求角5;(II)求cosA + cos3 + cosC的取值范围.【解析】(I)由2从吊4 =也,得2sin8sin A = gsin A.因为AABC为锐角三角形,所以0A(工,03工,故sinB =且,即3 =工 22232兀|(II)由(I)知,C =
9、 tt-A-B = AcosA + cos5 + cosC = cosA + / + COS7171sin A = sin A + + 一,/A 4 TL0 A , 20C = -A 3知工 人二,故工4 +生716 2, A 71 sin A + 一6,所以i 30, AJl sin B - 73 cos B = 0 ,即 tanB = V5,又因为 3(0,1),故 53(II )由余弦定理,廿=十a 一 2tzccos B = cT c1 - ac ,又a + c = 1 ,所以c = 1 一 a ,代人得 sin Asin 十0所以 sin A 0, 故 sin + =sin3, 即
10、sin* = sin所以 sin A 0, 故 sin + =sin3, 即 sin* = sin12cos0=sin3 = 2sin2,22271由3(0,乃)知勺 0,-,2-Bcos 0,2所以sinO =, 2 2(ID解法1:由正弦定理sin A sinB sinCsin A sin C44r sin A,故。=sinC所以AABC的面积Sacsin八与=叵个=立.学244 sin C 4Sacsin八与=叵个=立.学244 sin C 4I 3 JsinC冬。sC + gsinjQ 34 sinC8 8tanC由AA6C为锐角三角形,知4由AA6C为锐角三角形,知40C-,2271
11、0A =C-32解得工C解得工CT,所以。33/3 V30 ,即一5c2,a2 +c2 h2,即 屋,所以SABC = Lcsin工V3 =a g4解法2:由余弦定理/=2+。22ccos3,又因为5 =工,c = l,所以及=/。+ 1,而AA3c为锐角3a2 + a - a + 11,a? +1 - q +1,解得一 a q ,【提炼】(1)对于锐角三角形来说,任意两边平方的和大于第三边的平方,可以由余弦定理推导;(2) 解法1选取角A作为变量,解法2选取边。作为变量,其基本思想是一致的,即选取合适的变量表示面积,研究变量的范围,再用函数的观点研究面积的取值范围;(3)本题属一角及邻边模型
12、,问题有明显的几 何背景,去看看视频学习更多的方法技巧吧.10. (2022 新高考I卷 18 )记AABC的内角A民C的对边分别为风c ,己知= s, 281 + sin A 1 + cos 2B(I)若。=女,求3; 3(ID求之弦的最小值. c/八 sin 252 sin B cos B sinB【解析】(I) =Z=1 +cos 282 cos2 B cosB/八 sin 252 sin B cos B sinB【解析】(I) =Z=1 +cos 282 cos2 B cosB口否*cos A sin 23 匚匚修 cos A sinB,由题息,=,所以=,1+sinA 1 +cos
13、231 + sin A cos B从而 cos Acos B = sin B + sin Asin B,故 cos Acos B sin Asin B = sin B ,所以 cos(A + B) = sin B ,又。=女,所以a + 5 = 。=工,从而sinB = cose=,.因为C =生,所以。80,从而cosCvO,故。为钝角,所以A,3均为锐角.由sin3 = cos。可得sin3 = sinc 三,因为。为钝角,所以C 2为锐角,故B = C-2, (2)22(rr A37r(3 4所以 4 =乃一3 。= C-C =2C ,故 sin A = sin2C =-cos2CI2j2I 2)(l-2sin2C)2+l-sin2Csin2C从而/ + 力2 _ sjn2 a + sin2 B _ cos2 2C + cos2 C c2sin2 Csin2 C2-5sin2 C + 4sin4 C 2 A - 2 c o l 力 后 =-+ 4sin C-5.2J-4sin- C 5 = 4。2 -5sin2 Csin2 CV sin2 C当且仅当= 时取等号,此时sinC = 3,所以之弦的最小值为4夜-5.sin2 CV2c2
限制150内