高考数学总复习-------排列组合与概率统计(20页).doc
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1、-第 1 页高考数学总复习高考数学总复习-排列组合与排列组合与概率统计概率统计-第 2 页高考数学高考数学总总复习复习-排列组合与概率统计排列组合与概率统计【重点知识回顾】【重点知识回顾】1.排列与组合排列与组合 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理,两者的区别在于分步计数原理和分步有关,分类计数原理与分类有关.排列与组合主要研究从一些不同元素中,任取部分或全部元素进行排列或组合,求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关,与顺序有关的属于排列问题,与顺序无关的属于组合问题.排列与组合的主要公式排列数公式:)1()1()!(!mnnnmnnAmn(mn)An
2、n=n!=n(n1)(n2).21.组合数公式:12)1()1()1()!(!mmmnnnmnmnCmn(mn).组合数性质:mnnmnCC(mn).nnnnnnCCCC2210 2.二项式定理二项式定理 二项式定理(a+b)n=C0nan+C1nan1b+Crnanrbr+Cnnbn,其中各项系数就是组合数 Crn,展开式共有 n+1 项,第 r+1 项是 Tr+1=Crnanrbr.二项展开式的通项公式二项展开式的第 r+1 项 Tr+1=Crnanrbr(r=0,1,n)叫做二项展开式的通项公式。二项式系数的性质在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 Crn=Cr
3、nn(r=0,1,2,n).若 n 是偶数,则中间项(第12n项)的二项公式系数最大,其值为 C2nn;若 n 是奇数,则中间两项(第21n项和第23n项)的二项式系数相等,并且最大,其值为 C21nn=C21nn.所有二项式系数和等于 2n,即 C0n+C1nC2n+Cnn=2n.奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和,即 C0n+C2n+=C1n+C3n+=2n1.3.概率概率-第 3 页(1)事件与基本事件:基本事件:试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件;一次试验等可能的产生一个基本事件;任意两个基本事件都是互斥的;试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示(2)频率与
4、概率:随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值频率往往在概率附近摆动,且随着试验次数的不断增加而变化,摆动幅度会越来越小随机事件的概率是一个常数,不随具体的实验次数的变化而变化(3)互斥事件与对立事件:(4)古典概型与几何概型:古典概型:具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型几何概型:每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的,但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个,而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个(5)古典概型与几何概型的概率计算公式:古典概型的概率计算公式:()AP A 包含的基本事件的
5、个数基本事件的总数几何概型的概率计算公式:()AP A 构成事件 的区域长度(面积或体积)试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)两种概型概率的求法都是“求比例”,但具体公式中的分子、分母不同(6)概率基本性质与公式)概率基本性质与公式事件A的概率()P A的范围为:0()1P A互斥事件A与B的概率加法公式:()()()P ABP AP B对立事件A与B的概率加法公式:()()1P AP B(7)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,则它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是 pn(k)=Cknpk(1p)nk.实际上,它就是二项式(1p)+pn的展开式的第 k+1 项.(8
6、)独立重复试验与二项分布一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验注意这里强调了三点:(1)相同条件;(2)多次重复;(3)各次之间相互独立;二项分布的概念:一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为()(1)(012)kkn knP XkC ppkn,此时称随机变量X服从二项分布,记作事件定义集合角度理解关系互斥事件事件A与B不可能同时发生两事件交集为空事件A与B对立,则A与B必为互斥事件;事件A与B互斥,但不一是对立事件对立事件事件A与B不可能
7、同时发生,且必有一个发生两事件互补-第 4 页()XB np,并称p为成功概率4、统计、统计(1)三种抽样方法简单随机抽样简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法抽样中选取个体的方法有两种:放回和不放回我们在抽样调查中用的是不放回抽取简单随机抽样的特点:被抽取样本的总体个数有限从总体中逐个进行抽取,使抽样便于在实践中操作它是不放回抽取,这使其具有广泛应用性每一次抽样时,每个个体等可能的被抽到,保证了抽样方法的公平性实施抽样的方法:抽签法:方法简单,易于理解随机数表法:要理解好随机数表,即表中每个位置上等可能出现 0,1,2,9 这十个数字的数表随机数表中各个位置上出现各个数字的等
8、可能性,决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性系统抽样系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系,即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时,采用的是简单随机抽样系统抽样的操作步骤:第一步,利用随机的方式将总体中的个体编号;第二步,将总体的编号分段,要确定分段间隔k,当Nn(为总体中的个体数,n 为样本容量)是整数时,Nkn;当Nn不是整数时,通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数能被 n 整除,这时Nkn;第三步,在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l,再按事先确定的规则抽取样本通常是将l加上间隔 k 得到第 2 个编
9、号()lk,将()lk加上 k,得到第 3 个编号(2)lk,这样继续下去,直到获取整个样本分层抽样分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时,为了使抽样更好地反映总体情况,将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分,每一部分叫层;在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样分层抽样的过程可分为四步:第一步,确定样本容量与总体个数的比;第二步,计算出各层需抽取的个体数;第三步,采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体;第四步,将各层中抽取的个体合在一起,就是所要抽取的样本(2)用样本估计总体)用样本估计总体样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率,我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本
10、的频率分布,有时也利用茎叶图来描述其分布,然后用样本的频率分布去估计总体分布,总体一定时,样本容量越大,这种估计也就越精确用样本频率分布估计总体频率分布时,通常要对给定一组数据进行列表、作图处理 作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤 画样本频率分布直方图的步骤:求全距决定组距与组数分组列频率分布表画频率分布直方图茎叶图刻画数据有两个优点:一是所有的信息都可以从图中得到;二是茎叶图便于记录和表示,但数据位数较多时不够方便平均数反映了样本数据的平均水平,而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程-第 5 页度,其计算公式为211()niisxxn 有时也用标准差的平方方差来代替标准差,两者实
11、质上是一样的(3)两个变量之间的关系)两个变量之间的关系变量与变量之间的关系,除了确定性的函数关系外,还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系在本章中,我们学习了一元线性相关关系,通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值,获得对这两个变量之间的整体关系的了解 分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系,还可利用最小二乘估计求出回归直线方程 通常我们使用散点图,首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出,形成散点图然后从散点图上,我们可以分析出两个变量是否存在相关关系:如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,那么就说这两个变量之间具有线性相
12、关关系,这条直线叫做回归直线,其对应的方程叫做回归直线方程在本节要经常与数据打交道,计算量大,因此同学们要学会应用科学计算器(4)求回归直线方程的步骤:第一步:先把数据制成表,从表中计算出211nniiiiix yx yx,;第二步:计算回归系数的 a,b,公式为第三步:写出回归直线方程ybxa(4)独立性检验)独立性检验2 2列联表列联表:列出的两个分类变量X和Y,它们的取值分别为12,x x和12,y y的样本频数表称为2 2列联表列联表 1分类y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd构造随机变量22()()()()n adbcKab cd ac bd(其中nabcd)得到
13、得到2K的观察值的观察值k常与以下几个临界值加以比较:常与以下几个临界值加以比较:如果2.706k,就有0090的把握因为两分类变量X和Y是有关系;如果3.841k 就有0095的把握因为两分类变量X和Y是有关系;如果6.635k 就有0099的把握因为两分类变量X和Y是有关系;如果低于2.706k,就认为没有充分的证据说明变量X和Y是有关系【典型例题】【典型例题】考点一:排列组合排列组合【方法解读方法解读】1、解排列组合题的基本思路:-第 6 页1将具体问题抽象为排列组合问题,是解排列组合应用题的关键一步2对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法;3是用“直接法”还是用“间接法”解组合
14、题,其前提是“正难则反”;2、解排列组合题的基本方法:1优限法:元素分析法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;2排异法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。3分类处理:某些问题总体不好解决时,常常分成若干类,再由分类计数原理得出结论;注意:分类不重复不遗漏。4分步处理:对某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决;在解题过程中,常常要既要分类,以要分步,其原则是先分类,再分步。5插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后再
15、把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。6捆绑法:把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列。7穷举法:将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来;这种方法常用于方法数比较少的问题。【命题规律命题规律】排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现,难度属中等。例 1.(2010天津)如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法用()A.288 种B.264 种C.240 种D.168 种【提示】(1)B,D,E,
16、F 用四种颜色,则有441 124A 种涂色方法;(2)B,D,E,F 用三种颜色,则有33442 22 1 2192AA 种涂色方法;(3)B,D,E,F 用两种颜色,则有242 248A 种涂色方法;所以共有 24+192+48=264 种不同的涂色方法。故选 B例例 2、某校开设 10 门课程供学生选修,其中 A,B,C 三门由于上课时间相同,至多选一门学校规定,每位同学选修三门,则每位同学不同的选修方案种数是(B)A120B98C63D56【提示】分两类:第一类 A,B,C 三门课都不选,有37C35 种方案;第二类 A,B,C 中选一门,剩余 7 门课中选两门,有13C27C63 种
17、方案故共有 356398 种方案故选 B例例 3、某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单,开演前又增加了 3 个新节目,如果将这 3 个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为(A)A504B210C336D120【提示】三个新节目一个一个插入节目单中,分别有 7,8,9 种方法,插法种数为 789-第 7 页504 或9966AA504.故选 A考点二:二项式定理二项式定理【内容解读内容解读】掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题。对二项式定理的考查主要有以下两种题型:1、求二项展开式中的指定项问题:方法主要是运用二项式展开的通项公式;2、求二项展开式中的多
18、个系数的和:此类问题多用赋值法;要注意二项式系数与项的系数的区别;【命题规律命题规律】历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现,多为课本例题、习题迁移的改编题,难度不大,重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此,只要我们把握住二项式定理二项式定理及其系数性质,会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决,就可顺利获解。例例 4、设88018(1),xaa xa x则0,18,a aa中奇数的个数为()A2B3C4D5解解:由题知)8,2,1,0(8iCaii,逐个验证知18808 CC,其它为偶数,选 A。例例 5、组合数 Crn(nr1,n、rZ)恒等于
19、()Ar+1n+1Cr-1n-1B(n+1)(r+1)Cr-1n-1Cnr Cr-1n-1DnrCr-1n-1解解:由11!(1)!()!(1)!(1)(1)!rrnnnnnnCCr nrrrnrr.例例 6、在)5)(4)(3)(2)(1(xxxxx的展开式中,含4x的项的系数是(A)-15(B)85(C)-120(D)274解解:本题可通过选括号(即 5 个括号中 4 个提供x,其余 1 个提供常数)的思路来完成。故含4x的项的系数为(1)(2)(3)(4)(5)15.例例 7、若(x+12x)n的展开式中前三项的系数成等差数,则展开式中 x4项的系数为(A)6(B)7(C)8(D)9解解
20、:因为1()2nxx的展开式中前三项的系数0nC、112nC、214nC成等差数列,所以02114nnnCCC,即2980nn,解 得:8n 或1n(舍)。88 218811()()22rrrrrrrTC xC xx。令824r可 得,2r,所 以4x的 系 数 为2281()72C,故选 B。考点三:概率:概率-第 8 页【内容解读内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式,对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在 n 次独立重复试验中恰发生 k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。【命题规律命题规律】(1)概率
21、统计试题的题量大致为 2 道,约占全卷总分的 6-10,试题的难度为中等或中等偏易。(2)概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编,通过对基础知识的重新组合、变式和拓展,从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念,尊重不同考生群体思维的差异,贴近考生的实际,体现了人文教育的精神。例例 8、在平面直角坐标系xoy中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随意投一点,则落入 E 中的概率为。解解:如图:区域 D 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部(
22、含边界),区域 E 表示单位圆及其内部,因此214 416P。答案答案16点评点评:本题考查几何概型,利用面积相比求概率。例例 9、从编号为 1,2,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,则所取 4 个球的最大号码是 6 的概率为(A)184(B)121(C)25(D)35解解:35410121CPC,故选 B。点评点评:本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率。例例 10、在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为(A)511(B)681(C)3061(D)4081解解
23、:基本事件总数为31817 16 3C。选出火炬手编号为13(1)naan,11a 时,由1,4,7,10,13,16可得 4 种选法;12a 时,由2,5,8,11,14,17可得 4 种选法;13a 时,由3,6,9,12,15,18可得 4 种选法。点评:点评:本题考查古典概型及排列组合问题。例例 11、某一批花生种子,如果每 1 粒发牙的概率为45,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是()-第 9 页A.16625B.96625C.192625D.256625解解:独立重复实验4(4,)5B,22244196(2)55625P kC 例 12、某射击测试规则为:每人最多射击 3
24、 次,击中目标即终止射击,第i次击中目标得1 i(12 3)i ,分,3 次均未击中目标得 0 分已知某射手每次击中目标的概率为 0.8,其各次射击结果互不影响()求该射手恰好射击两次的概率;()该射手的得分记为,求随机变量的分布列及数学期望解解:()设该射手第i次击中目标的事件为(12 3)iA i ,则()0.8()0.2iiP AP A,()可能取的值为 0,1,2,3的分布列为例 13、随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品 126件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件 已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为6 万元、2 万元、1万元,而 1 件次品
25、亏损 2 万元设 1 件产品的利润(单位:万元)为(1)求的分布列;(2)求 1 件产品的平均利润(即的数学期望);(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?解解:的所有可能取值有 6,2,1,-2;126(6)0.63200P,50(2)0.25200P故的分布列为:621-2P0.630.250.10.02(2)6 0.632 0.25 1 0.1(2)0.024.34E (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时 1 件产品的平均利润为依题意,()4.73E x,即4.764
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