小升初奥数-行程篇.docx
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1、行程问题题型分类:1.基本相遇追及问题(两人及多人)2.火车过桥问题4.钟表行程问题6.流水行船问题5.往返多次相遇问题7.电梯行程问题9.分段行程问题1L环形行程问题3.发车间隔问题8.牛吃草行程问题10.来回行程问题12.相遇点变化问题常用解题方法和技巧1 .抓变量与不变量(S/v/t)(即等量与不等量关系)2 .假设法3 .比较法4 .比例法:(正反比例) SI tl SI S2V相同,则由=或苦=若(成正比)t相同,则n =.或.=)(成正比).,vl t2 c.S相同,则以=日或vlXtl=v2Xt2(成反比)5 .盈亏法6 .方程法Q解题步骤根据已知,画出图形。先将试题内容通读一遍
2、,然后再逐句细读,对应画图表示,注意将过程中关键点位标识出来。二 .确定题目类型,回忆相关知识点内容和公式三 .抓住不变量,找出所有数量关系(路程、速度、时间)四.利用各种常用技巧进行转化、分析、解答。个基础知识一、相遇和追及问题基本公式1 .相遇问题:速度和X板港时间=路程和2 .追及问题:速度差x道及时间=路程差速度差=快者速度一慢者速度二、常见题型往返多次相遇问题令模型构造甲乙两人从A、B两地相对出发,在A、B两地之间往返行驶。第1次相遇在Ml,第2次相遇在M2,,第n次相遇在Mn,则有以下数量关系:1)两人相遇时的总路程(从开始算起)S1:S2:S3:.: Sn =1:3:5:.:(2
3、n-l)2)两人相遇时的总时间(从开始算起)tl:t2:t3:.: tn =1:3:5:.:(2n-l)3)两人相遇时,各自分别所走的总路程(从开始算起)S 甲.S 甲2-S 甲3: S 甲口1.3.5.(2n-1)S 乙 iS 乙2:S 乙3* S 乙 n 二1:3:5:.:(2n-l)4)速度比V 甲:V z,= S 甲1:S Z,1=S 甲2:S 乙2= S ? n:S Z. n【知识储备】+J相遇分为:迎耐璃追及相遇、端点相遇何以理解为追及相遇,也可以理解为迎面相遇)*役期醐懈程为”则对于迎面相遇问题,我们可以采用下面的“S图”解决.u2【例1】甲、乙二人分别从人B两地同时往鲍,乙的速
4、度是甲的三.改1二人第五次迎面相遇的地3点距第二次胸相遇的地点是2Q千米,那么4、月两地相距多少千米?,,2【解析】因为“乙的速度是甲的所以第一次相遢 S0=%:%=3:2,,【例2】若格例1改为:二人第103次迎面相遇的地点距第加8?顺江11Hi相遇的地点是20千米,求工、B两地相距多少千米?,【解析】如果题目当中的相遢次数较多,那么我俏就应该注意寻找相遢点的规律,”同学kI不难发现他任迎面相遢的地点5个二宿环,1035=-3,所以第103次相遇点在3,二2008脆的个位数字为8MM的个位数字6,所以200件鳍除以5的余数为1,所以第2008.次相遢点在E,所以两次相遢的地点为2伶,是20千
5、米,枚全程为50千米对于含有追及相遇的问题我们可以采用“$T图”+“沙漏几何模型”形象解决【例4】小B两地相距1000米,甲从力地、乙内顾时瞬,在小3两顺胜返蹦.举睁每,分钟行150米,甲步行每分钟行60米.在30分随,甲、乙两人第几次相遇时距3地最近?最近距离是多少?4J【解析】根据题意可得。:%=60:150=2:5,那么甲、乙片完一个单程所用的时间比为:5:2,,我仙用平行的两条线表示行完单程的时间的份数,竖着的加表示力、8两地相距1000米,则可面用30分钟,两人共走30x(150+60)=63000,合计63颐+皿0=6.3个全程,甲、乙的运行图如下,图中虚线表示甲,实线表示乙.?
6、A 1234567891011_,_,_ ,_t解法2甲乙的运行图如下,图中实现表示甲,虚线表示乙。由图可知,第3次相遇时距离A地最近,此时两人共走了1(X)0x3=3000千米,用时30004-(150+60)=分钟,相遇地点距离B地100060、图=侬B143米。77【例5】(思维导引五年级第3讲1T大河有力、3两个港口,水由0硒B,水礴度是每小时4千米.甲、乙两船同时由力向,B魂,各自不停地在小B之解逾而,甲船在静水中睡睡施28甘,空在蠡水,中的速度是每小时20千米.已知两船第二次幽相遇的地点与甲船第二次追上乙船环算甲、乙在碗同时刑触的那卡)的地点相距4Q秫,求入B两个港口加1的距离一【
7、解析】由题意知甲船的顺水速度为32千米/时,逆水速度为24千米/时;乙船的顺水速度为X千米/时,逆水速度为16千米/叱那么它41的速度比为:%:%现:匕修:公=4:3:3为所以它41行完一个单程所用。才问比为:、*:Ln:L.#=3:4:4:6p甲、乙42468101214161820222426283032343638404244464850A 八qA-AaA /A 人人444AA n 八八八八八八八、【例8.A、B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A, B两地之间,都是到达一地之后立即返回,乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么两车第三次相遇为止,
8、乙车共走了多少千米?解:第一次相遇,甲乙总共走了2个全程,第二次相遇,甲乙总共走了4个全程,乙比甲快,相遇又在P点,所以画图推出:从第一次相遇到第二次相遇,乙从第一个P点到第二个P点,路程正好是第一次的路程。假设一个全程为3份,第一次相遇甲走了2份乙走了4份。第二次相遇,乙正好走了1份到B地,又返回走了1份。这样根据总结:2个全程里乙走了(5404-3) X4=180X4=720千米,乙总共走了720X3=2160千米。【例9】.小张与小王分别从甲、乙两村同时出发,在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回),他们在离甲村3.5千米处第一次相遇,在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇
9、的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)?解:11示意图如下.第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍,因此张走了3.5X3=10.5(千米).从图上可看出,第二次相遇处离乙村2千米.因此,甲、乙两村距离是10.5-2=8.5(千米).每次要再相遇,两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时,两人已共同走了两村距离(3+2+2)倍的行程.其中张走了3.5X7=24.5(千米),24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇处,离乙村8.5-7.5=1(千米).答:第四次相遇地点离乙村1千米.多次相遇与多人相遇问题【例1】.甲乙二人分别从A、B两地同时出发,如果两人同向而行
10、,甲26分钟赶上乙;如果两人相向而行,6分钟可相遇,又已知乙每分钟行50米,求A、B两地的距离。解:先画图如下:【方法一】若设甲、则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟,因此,甲走C到D之间的路程时,所用时间应为:(26-6)=20(分)。同时,由上图可知,C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和,为50X (26+6)=1600(米).所以,甲的速度为1600+20=80(米/分),由此可求出A、B间的距离。50X (26+6)4-(26-6)=50X32+20=80(米/分)(80+50) X6=130X6=780(米)答:A、
11、B间的距离为780米。【方法二】设甲的速度是x米/分钟那么有(X-50) X26=(x+50) X6解得x=80所以两地距离为(80+50) X 6=780米【例2】.甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走67.5米,丙每分钟走75米,甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米?解:那2分钟是甲和丙相遇,所以距离是(60+75) X2=270米,这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以,乙丙相遇时间=270+(67.5-60)=36分钟,路程=36X (60+75)=4860米。【例3】.甲、乙两地间有一条公路,王明从
12、甲地骑自行车前往乙地,同时有一辆客车从乙地开往甲地。40分钟后王明与客车在途中相遇,客车到达甲地后立即折回乙地,在第一次相遇后又经过10分钟客车在途中追上了王明。客车到达乙地后又折回甲地,这样一直下去。当王明骑车到达乙地时,客车一共追上(指客车和王明同向)王明几次?解:设王明10分钟所走的路程为a米,则王明40分钟所走的路程为4a米,则客车在10分钟所走的路程为4aX2+a=9a米,客车的速度是王明速度的9a + a=9倍。王明走一个甲、乙全程则客车走9个甲、乙全程,其中5个为乙到甲地方向,4个为甲到乙地方向,即客车一共追上王明4次。【例4】.王的步行速度是4.8千米/小时,小张的步行速度是5
13、.4千米/小时,他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时,从乙地到甲地去.他们3人同时出发,在小张与小李相遇后5分钟,小王又与小李相遇.问:小李骑车从乙地到甲地需要多少时间?王张李I111甲BA乙图中A点是小张与小李相遇的地点,图中再设置一个B点,它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇,也就是5分钟的时间,小王和小李共同走了B与A之间这段距离,它等于(4.8+10.8) X =1.3(千米).60这段距离也是出发后小张比小王多走的距离,小王与小张的速度差是(5.4-4.8)千米/小时.小张比小王多走这段距离,需要的时间是L 3+(5.4-4.8) X6
14、0=130(分钟).这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时,是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要130+2=65(分钟).从乙地到甲地需要的时间是130+65=195(分钟)=3小时15分.答:小李从乙地到甲地需要3小时15分.【例5】.甲、乙、丙是一条路上的三个车站,乙站到甲、丙两站的距离相等,小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行,小强经过乙站100米时与小明相遇,然后两人又继续前进,小强走到丙站立即返回,经过乙站300米时又追上小明,问:甲、乙两站的距离是多少米?解:先画图如下:追上中点相遇.小明q300米100米田1i11*11丙小
15、符乙 h4)结合上图,我们可以把上述运动分为两个阶段来考察:第一阶段从出发到二人相遇:小强走的路程=一个甲、乙距离+100米,小明走的路程=一个甲、乙距离TOO米。第二阶段从他们相遇到小强追上小明,小强走的路程=2个甲、乙距离TOO米+300米=2个甲、乙距离+200米,小明走的路程=100+300=400(米)。从小强在两个阶段所走的路程可以看出:小强在第二阶段所走的路是第一阶段的2倍,所以,小明第二阶段所走的路也是第一阶段的2倍,即第一阶段应走400+2=200(米),从而可求出甲、乙之间的距离为200+100=300(米)。【例6】.快车和慢车分别从A, B两地同时开出,相向而行.经过5
16、小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时,慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问:两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间?解:画一张示意图:叵_10)D 1C设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时,从C到A用了12.5-5=7.5(小时).我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位,C到A15个单位.慢车每小时走2个单位,快车每小时走3个单位.有了上面“耳又单位”准备后,下面很易计算了.慢车从C到A,再加停留半小时,共8小时.此时快车在何处呢?去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时,共行驶3X7=21(单位).从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1=14(
17、单位).现在慢车从A,快车从D,同时出发共同行走14单位,相遇所需时间是144-(2+3)=2.8(小时).慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了7.5+0.5+2.8=10.8(小时).答:从第一相遇到再相遇共需10小时48分.环型相遇与追及【环一1】如图,有一个圆,两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发,绕圆周相向而行。它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点,第二次相遇在离c点处6厘米的D点,问,这个圆周的长是多少?B解:如图,第一次相遇,两虫共爬半个圆周,其中,A点小虫爬8厘米,第二次相遇,两虫从出发点(A和C)共爬1.5个圆周,两虫的速度不变,路程与时间成正比,1.5:0.5=3:1其中
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