函数与反函数.ppt
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1、第1节 函数与反函数 第二章 函数要点要点疑点疑点考点考点1.1.映射映射设设A A,B B是是两两个个集集合合,如如果果按按照照某某种种对对应应法法则则f f,对对于于集集合合A A中中的的任任何何一一个个元元素素,在在集集合合B B中中都都有有惟惟一一的的元元素素和和它它对对应应,那那么么这这样样的的对对应应叫叫做做集集合合A A到到集集合合B B的的映映射射,记记作作f:AB f:AB.给给定定一一个个集集合合A A到到B B的的映映射射,且且aA,bB.aA,bB.如如果果元元素素a a和和元元素素b b对应对应,那么,我,那么,我们们把元素把元素b b叫做叫做元素元素a a的象,元素
2、的象,元素a a叫做元素叫做元素b b的原象的原象设设f:ABf:AB是是集集合合A A到到集集合合B B的的一一个个映映射射.如如果果在在这这个个映映射射下下,对对于于集集合合A A中中的的不不同同元元素素,在在集集合合B B中中有有不不同同的的象象,而而且且B B中中每每一一个个元元素素都都有有原原象象,那那么么这这个个映映射射就就叫叫做做A A到到B B上上的的一一一一映射映射.2.2.函数函数(1)(1)传传统统定定义义:如如果果在在某某个个变变化化过过程程中中有有两两个个变变量量x,yx,y,并并且对于且对于x x在某个范围内的每一个确在某个范围内的每一个确定定的的值值,按按照照某某
3、个个对对应应法法则则f,yf,y都都有有惟惟一一确确定定的的值值和和它它对对应应,那么那么y y就是就是x x的函数,记作的函数,记作y=f(x)y=f(x)(2)(2)近近代代定定义义:函函数数是是由由一一个个非非空空数数集集到到另另一一个个非非空空数数集集的的映射映射.3.3.函数的三要素函数的三要素 函函数数是是由由定定义义域域、值值域域以以及及从从定定义义域域到到值值域域的的对对应应法法则则三三部分组成的特殊映射部分组成的特殊映射.4.4.函数的表示法:解析式法、列表法、图象法函数的表示法:解析式法、列表法、图象法.5.5.反函数反函数.设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域、值
4、域分别为的定义域、值域分别为A A、C.C.如果用如果用y y表示表示x x,得到得到x=(y)x=(y),且对于且对于y y在在C C中的任何一个值,通过中的任何一个值,通过x=(y)x=(y),x x在在A A中都有惟一确定的值和它对应中都有惟一确定的值和它对应.那么就称函数那么就称函数x=(y)(yC)x=(y)(yC)叫做函数叫做函数y=f(x)(xA)y=f(x)(xA)的反函数的反函数.记作记作x=fx=f-1 1(y)(y)一般改写为一般改写为y=fy=f-1-1(x)(x)答案:答案:(1)(1)D(2)(2)y=-log3(x+1)(x0)(3)(3)-1,+)课课 前前 热
5、热 身身1.设函数 ,则x0的取值范围是()(A)(-1,1)(B)(-1,+)(C)(-,-2)(0,+)(D)(-,-1)(1,+)2.函数y=3-x-1(x0)的反函数是_3.已知函数y=f(x)的反函数f-1(x)=x-1(x0),那么函数y=f(x)的定义域是_答案:答案:(4)(4)B (5)(5)C4.定 义 域 为 -2,-1,0,1,2 的 函 数 f(x)满 足f(2)=1,f(1)=2,f(0)=0,则()(A)f(x)无最值 (B)f(x)是偶函数 (C)f(x)是增函数 (D)f(x)有反函数 5.已知函数y=f(x)的反函数为f-1(x)=2x+1,则f(1)等于(
6、)(A)0 (B)1 (C)-1 (D)4 能力思维方法【解题回顾】如果f:AB是一一映射,则其对应法则f如何;若card(A)=3,card(B)=2,映射f:AB所有可能的对应法则f共有多少个?1.设集合A=a,b,B=0,1,试列出映射f:AB的所有可能的对应法则f.【解题回顾】由函数y=f(x)求它的反函数y=f-1(x)的一般步骤是:(1)判断y=f(x)是否存在反函数(但书写时,此步骤可以省略);(2)若存在反函数,由y=f(x)解出x=f-1(y);(3)根据习惯,对换x、y,改写为y=f-(x);(4)根据y=f(x)的值域确定反函数的定义域2.求下列函数的反函数:(1)y=1
7、/2ln(x-5)+1(x5);(2)y=x2+2x(x0)【解题回顾】求f-1(a)的值,解一是先求函数f(x)的反函数f-1(x),再求f-1(a)的值;解二是根据原函数f(x)与它的反函数f-1(x)的定义域与值域间的关系,转化为求方程f(x)=a解的问题解一是常规解法,解二较简便.3.已知函数f(x)=2x/(1+2x)(xR),求f-1(1/3)的值【解题回顾】若函数f(x)存在反函数f-1(x),则f(a)=b,f-1(b)=a.4.若函数f(x)=ax+k的图象过点A(1,3),且它的反函数y=f-1(x)的图象过点B(2,0),求f(x)的表达式.【解题回顾】类似地可以证明:若
8、原函数为奇函数,且存在反函数,则反函数也为奇函数.5.证明:原函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)在相应的定义域具有相同的单调性.【解题回顾】函数和反函数的图象的画法是描点法.先根据解析式及定义域、值域、函数的特征取若干点画出一个比较易画的函数的图象,然后再利用它们的图象关于直线y=x的对称性画出另一个函数的图象.6已知函数 ,求它的反函数,并作出反函数的图象 延伸拓展1.在判断几个函数是否为同一函数时,一看函数定义域,二看函数对应法则,当且仅当函数定义域与对应法则都相同时它们才是同一函数;误解分析2.在涉及到反函数问题时,要特别注意原函数与反函数的定义域与值域之间的关系,以及它们图象间
9、的关系.第2节函数的解析式要点要点疑点疑点考点考点1.1.函函数数的的解解析析式式是是函函数数的的一一种种表表示示方方法法,要要求求两两个个变变量量之之间间的的函函数数关关系系时时,一一是是要要求求出出它它们们之之间间的的对对应应法法则则,二二是是要求出函数的定义域要求出函数的定义域.2.求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数法;已知复合函数fg(x)的表达式时,可用换元法,这时的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范
10、围;当已知表达式较简单时,也可用凑要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出法求出f(x)1.下列各解析式中,下列各解析式中,满满足足 的是的是()(A)x2(B)(C)2-x(D)log1/2 x2.已知函数已知函数f(x)=log2xF(x,y)=x+y2.则则等于等于()(A)-1(B)5(C)-8(D)33.若若f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则则g(x)的表达式的表达式为为()(A)2x+1(B)2x-1(C)2x-3(D)2x+74.已知函数已知函数 ,那么
11、那么_课课 前前 热热 身身CAB7/25.若一次函数若一次函数y=f(x)在区在区间间-1,2上的最小上的最小值为值为1,最大,最大值值为为3,则则f(x)的解析式的解析式为为_6.在在一一定定的的范范围围内内,某某种种产产品品的的购购买买量量y吨吨与与单单价价x元元之之间间满满足足一一次次函函数数关关系系.如如果果购购买买1000吨吨,每每吨吨为为800元元;购购买买2000吨吨,每吨每吨为为700元元.一客一客户购买户购买400吨吨单单价价应该应该是是()(A)820元元(B)840元元(C)860元元(D)880元元C C能力思维方法【解题回顾】解二是配凑法,解一是换元法如果已知复合函
12、数fg(x)的表达式且g(x)存在反函数时,可以用换元法来求f(x)的解析式.它的一般步骤为:(1)设g(x)=t,并求出t的取值范围(即g(x)的值域);(2)解出x=(t);(3)将g(x)=t,x=(t)同时代入函数fg(x)并简化;(4)以x代t且写出x的取值范围(即t的取值范围)1.设设,求求f(x)的解析式的解析式【解题回顾】根据对f(x-2)=f(-x-2)的不同理解,可设不同形式的二次函数.一般地,若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)关于直线x=a对称.这里应和周期函数定义区别开来.2.设设二二次次函函数数f(x)满满足足f(x-2)=f(-x-2),且
13、且图图象象在在y轴轴上上的的截截距为距为1,被,被x轴截得的线段长为轴截得的线段长为,求求f(x)的解析式的解析式【解题回顾】求与已知函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)对称的函数解析式y=g(x)时,可用代对称点法.3.已已知知函函数数y=x2+x与与y=g(x)的的图图象象关关于于点点(-2,3)对对称称,求求g(x)的解析式的解析式.【解题回顾】“数形结合”是一种重要的数学思想方法,灵活应用数形结合这一思想方法,往往能准确迅速地解答问题,它尤其适合解答客观性试题.4.甲甲乙乙两两车车同同时时沿沿着着某某条条公公路路从从A地地驶驶往往300km外外的的B地地,甲甲车车先先以以75km/
14、h的的速速度度行行驶驶,在在到到达达AB中中点点C处处停停留留2h后后,再以再以100km/h的速度的速度驶驶往往B地,乙地,乙车车始始终终以速度以速度v行行驶驶(I)(I)请请将将甲甲车车离离A地地路路程程x(km)表表示示为为离离开开A地地时时间间t(h)的的函函数,并画出数,并画出这这个函数的个函数的图图象;象;(II)(II)若两若两车车在途中恰好相遇两在途中恰好相遇两次次(不包括不包括A、B两地两地),试试确定确定乙乙车车行行驶驶速度速度v的取的取值值范范围围5.“依依法法纳纳税税是是每每个个公公民民应应尽尽的的义义务务”,国国家家征征收收个个人人所所得得税税是是分分段段计计算算的的
15、,总总收收入入不不超超过过800元元,免免征征个个人人所所得得税税,超超过过800元元部部分分需需征征税税,设设全全月月纳纳税税所所得得额额为为x,x=全全月月总总收入收入-800元,税率元,税率见见下表:下表:延伸拓展级数级数级数级数全月纳税所得额全月纳税所得额全月纳税所得额全月纳税所得额税率税率税率税率1 1不超过不超过不超过不超过500500元部分元部分元部分元部分5%5%2 2超过超过超过超过500500元至元至元至元至20002000元部分元部分元部分元部分10%10%3 3超过超过超过超过20002000元至元至元至元至50005000元部分元部分元部分元部分 15%15%9 9超
16、过超过超过超过1000010000元部分元部分元部分元部分 45%45%(1)(1)若若应应纳纳税税额额为为f(x),试试用用分分段段函函数数表表示示13级级纳纳税税额额f(x)的的计计算公式;算公式;(2)(2)某某人人2002年年10月月份份总总收收入入3000元元,试试计计算算该该人人此此月月份份应应缴纳缴纳个人所得税多少元个人所得税多少元?(3)(3)某某人人一一月月份份应应缴缴纳纳此此项项税税款款26.78元元,则则他他当当月月工工资资总总收收入入介介于于()(A)800900元元(B)9001200元元(C)12001500元元 (D)15002800元元【解解题题回回顾顾】建建立
17、立函函数数的的解解析析式式是是解解决决实实际际问问题题的的关关键键一一步步,必必须须熟熟练练掌掌握握.特特别别要要注注意意求求出出函函数数的的解解析析式式后后,必必须须写写出出其其定定义义域域处处理理分分段段函函数数问问题题,除除要要用用到到分分类类讨讨论论的思想外,的思想外,还还要注意其中整体和局部的关系,要注意其中整体和局部的关系,局部的和就是整体局部的和就是整体.1在在用用换换元元法法解解题题时时,要要特特别别注注意意所所设设元元的的范范围围.如如已已知知f(1-cosx)=sin2x,求求f(x)时时,设设t=1-cosx,则则0t2即即为为函函数数f(x)的定的定义义域域丢丢掉掉0t
18、2是是错错解解该题该题的根本原因的根本原因.误解分析2求由求由实际问题实际问题确定的函数解析式确定的函数解析式时时,一定要注意自,一定要注意自变变量在量在实际问题实际问题中的取中的取值值范范围围.第3节函数的定义域和值域要点要点疑点疑点考点考点1.能能使使函函数数式式有有意意义义的的实实数数x的的集集合合称称为为函函数数的的定定义义域域.求求函数的定义域的主要依据是:函数的定义域的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于指
19、数、对数式的底必须大于零且不等于1.2.如如果果函函数数是是由由一一些些基基本本函函数数通通过过四四则则运运算算结结合合而而成成的的.那那么,它的定义域是使各部分都有意义的么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合的值组成的集合.3.已已知知f(x)的的定定义义域域为为A,求求函函数数fg(x)的的定定义义域域,实实际际上上是是已已知知中中间间变变量量u=g(x)的的取取值值范范围围,即即uA,即即g(x)A,求自变量求自变量x的取值范围的取值范围.4.4.函函数数的的值值域域取取决决于于定定义义域域和和对对应应法法则则,不不论论采采取取什什么么方方法求函数的法求函数的值值域都域都应应
20、先考先考虑虑其定其定义义域域.5.5.应应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对对数函数及各数函数及各三角函数的三角函数的值值域,它是求解复域,它是求解复杂杂函数函数值值域的基域的基础础.6.6.求函数求函数值值域的常用方法有:直接法、反函数法、域的常用方法有:直接法、反函数法、换换元法、元法、配方法、均配方法、均值值不等式法、判不等式法、判别别式法、式法、单调单调性法等性法等.答案:答案:(1)(-,-1(2)5,+)(3)C课课 前前 热热 身身1函数函数的定的定义义域是域是_2.的的值值域是域是_3.定定义义域域为为R的的函函数数y=f(x)的的值值域域为
21、为a,b,则则函函数数y=f(x+a)的的值值域域为为()(A)2a,a+b(B)0,b-a(C)a,b(D)-a,a+b4.4.函数函数 的定义域为的定义域为()()(A)(A)2 2,+(B)(-(B)(-,1)(C)(11)(C)(1,2)(D)(12)(D)(1,2)2)5.5.若函数若函数 的值域是的值域是-1-1,11,则函数,则函数f-1(x)的值的值域是域是()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)DA能力思维方法【解解题题回回顾顾】复复合合函函数数y=fg(x)的的定定义义域域的的求求法法是是:根根据据f(x)的的定定义义域域列列出出g(x)的的不不等等式式,解
22、解该该不不等等式式即即可可求求出出fg(x)的定义域的定义域1.已已知知函函数数f(x)的的定定义义域域为为a,b,且且a+b0,求求f(x2)的的定义域定义域2求下列函数的值域:求下列函数的值域:(1);(2)(3);(4)【解解题题回回顾顾】第第(1)题题是通是通过过求原函数的反函数的定求原函数的反函数的定义义域,域,求原函数的求原函数的值值域域.也可将原函数式化也可将原函数式化为为,可利用指可利用指数函数的性数函数的性质质3x0得得 .第第(3)题题用用换换元元法法求求函函数数的的值值域域,要要特特别别注注意意换换元元后后新新变变量量的取值范围的取值范围第第(4)题利用基本不等式求函数的
23、值域时,必须注意公式使题利用基本不等式求函数的值域时,必须注意公式使用的条件,本题也可分用的条件,本题也可分x0,x0两类情况利用基本不等式两类情况利用基本不等式求函数的值域;利用判别式法求函数值域的关键是构造自变求函数的值域;利用判别式法求函数值域的关键是构造自变量量x的二次方程的二次方程.第第(2)题题采用了采用了“部分分式法部分分式法”求解,即将原分式分解成两求解,即将原分式分解成两项项,其中一,其中一项为项为常数,另一常数,另一项项容易求出容易求出值值域域形如形如(a0,c0)的函数均可使用的函数均可使用这这种方法种方法.本本题题也可化也可化为为,利用利用|sinx|1,得得,求函数的
24、求函数的值值域域.【解解题题回回顾顾】对对于于xR时时ax2+bx+c0恒恒成成立立.一一定定要要分分a=0与与a0两种情况来两种情况来讨论讨论.这样这样才能避免才能避免错误错误.3.已知函数已知函数y=mx2-6mx+m+8的定的定义义域域为为R(1)求求实实数数m的取的取值值范范围围;(2)当当m变变化化时时,若,若y的最小的最小值为值为f(m),求求f(m)的的值值域域延伸拓展【解解题题回回顾顾】含含有有参参变变数数字字母母的的二二次次函函数数的的最最值值问问题题,主主要要体体现现在在顶顶点点的的变变化化和和区区间间的的变变化化,当当然然还还有有抛抛物物线线的的开开口口方方向向问问题题,
25、当当抛抛物物线线开开口口方方向向确确定定时时,可可能能会会出出现现三三种种情形:情形:(1)顶顶点点(对对称称轴轴)不不动动,而区,而区间变间变化化(移移动动);(2)顶顶点点(对对称称轴轴)可移可移动动,而区,而区间间不不动动;(3)顶顶点点(对对称称轴轴)和和区区间间都都可可移移动动无无论论哪哪种种情情形形都都结结合合图图象象、顶顶点点(对对称称轴轴)与与区区间间的的位位置置关关系系对对种种种种可可能能的的情情形形进进行行讨论讨论.4.设设f(x)=x2-2ax(0 x1)的的最最大大值值为为M(a),最最小小值值为为m(a),试试求求M(a)及及m(a)的表达式的表达式.1.凡凡涉涉及及
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