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1、一、相似矩阵的概念和性质定义定义设设A、B为数域为数域P上的两个上的两个n级矩阵,若存在可逆级矩阵,若存在可逆 矩阵矩阵 使得使得 则称矩阵则称矩阵A相似于相似于B,记为,记为AB (1)相似是一个等价关系,即满足如下三条性质:相似是一个等价关系,即满足如下三条性质:反身性反身性:AA 对称性对称性:若若AB,则,则 BA 2基本性质基本性质 传递性传递性:若:若AB BC,则,则 AC(2)相似矩阵的运算性质相似矩阵的运算性质 若若 则则即,即,特别地,特别地,若则若则 性质性质5:证证:设设 则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵X,使得使得性质性质 相似矩阵具有相同的特征多项式相似矩阵具有相同的特
2、征多项式.于是,于是,有相同特征多项式的矩阵未必相似有相同特征多项式的矩阵未必相似.它们的特征多项式都是,但它们的特征多项式都是,但A、B不相似不相似.如如 性质性质2 相似矩阵的特征值相同。相似矩阵的特征值相同。性质性质3 相似矩阵的秩相等。相似矩阵的秩相等。性质性质4 相似矩阵的主对角线上元之和相等。相似矩阵的主对角线上元之和相等。矩阵,则矩阵,则称矩阵称矩阵A可对角化可对角化.定义定义:矩阵:矩阵A是数域是数域 上的一个上的一个 级方阵级方阵.如果如果存在一个存在一个 上的上的 级可逆矩阵级可逆矩阵 ,使,使 为对角为对角二、矩阵可相似对角化的条件二、矩阵可相似对角化的条件 1.(定理定
3、理)设设A A为为n n阶矩阵,则可对角化阶矩阵,则可对角化的充分必要条件是有的充分必要条件是有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.二、可对角化的条件二、可对角化的条件 特别地特别地,(推论推论2)在复数域在复数域C上的线性空间中,上的线性空间中,推论推论设设A A为为n阶矩阵阶矩阵,若,若在数域在数域 P 中有中有n个不同特征值,个不同特征值,则则 A 可对角化可对角化如果矩阵如果矩阵A的特征多项式没有重根,则的特征多项式没有重根,则A可对角化。可对角化。对角化的一般方法对角化的一般方法 1 求出矩阵求出矩阵A的全部特征值的全部特征值 2 对每一个特征值对每一个特征值,求出齐次线性方
4、程组,求出齐次线性方程组 步骤步骤:的一个基础解系(此即的属于的一个基础解系(此即的属于 的全部线性无关的全部线性无关的特征向量)的特征向量).3若全部基础解系所合向量个数之和等于若全部基础解系所合向量个数之和等于n,则,则 矩阵矩阵A可对角化可对角化.以这些解向量为列,作一个以这些解向量为列,作一个n阶方阵阶方阵T,则,则T可逆,可逆,是对角矩阵是对角矩阵.有有n个线性无关的特征向量从而个线性无关的特征向量从而 例例1.3.4 设矩阵为设矩阵为 问问A 是否可对角化?是否可对角化?在可对角化的情况下,写出对角矩阵。在可对角化的情况下,写出对角矩阵。习题习题.解:解:A的特征多项式为的特征多项
5、式为 得得A的特征值是的特征值是1、1、1.解齐次线性方程组解齐次线性方程组 得得 故其基础解系为:故其基础解系为:所以,所以,是的属于特征值是的属于特征值1的两个线性无关的特征向量的两个线性无关的特征向量.再解齐次线性方程组再解齐次线性方程组 得得 故其基础解系为:故其基础解系为:所以,所以,是是A 的属于特征值的属于特征值1的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量.线性无关,故线性无关,故 A 可对角化,设可对角化,设则则习题习题.问问A是否可对角化?若可,求可逆矩阵是否可对角化?若可,求可逆矩阵T,使,使为以角矩阵为以角矩阵.这里这里得得A的特征值是的特征值是2、2、-4.解解:A的特征多项式为的特征多项式为 对于特征值对于特征值2,求出齐次线性方程组,求出齐次线性方程组 对于特征值对于特征值4,求出齐次方程组,求出齐次方程组 的一个基础解系的一个基础解系:(2、1、0),(),(1、0、1)的一个基础解系的一个基础解系:令令 则则 所以所以A可对角化可对角化.
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