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1、1.7 1.7 四种命题四种命题(二)反证法(二)反证法 yyyy年年M月月d日星期日星期原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题逆否命题逆否命题 互逆互逆 互逆互逆互互否否互互否否四种命题的相互关系四种命题的相互关系互为逆否互为逆否互为逆否互为逆否复复 习习 回回 顾顾 1 1互互为逆否的一逆否的一对命命题,同真或同假。,同真或同假。2 2互逆的一互逆的一对命命题,不一定同真假。,不一定同真假。3 3互否的一互否的一对命命题,不一定同真假。,不一定同真假。1:下列结论错误的是(:下列结论错误的是()(A)原命题为真,其逆命题不一定为真)原命题为真,其逆命题不一定为真(B)
2、原命题为真,其否命题不一定为真)原命题为真,其否命题不一定为真(C)逆命题为真,否命题就一定为真)逆命题为真,否命题就一定为真(D)原命题为真,逆否命题不一定为真)原命题为真,逆否命题不一定为真2:一个命题与它的逆命题,否命题,逆否命题这四个一个命题与它的逆命题,否命题,逆否命题这四个命题中命题中()(A)真命题的个数一定是奇数)真命题的个数一定是奇数 (B)真命题的个数一定是偶数)真命题的个数一定是偶数 (C)真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数)真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数 (D)上述判断都不正确)上述判断都不正确练练 习习DB3、判断命题、判断命题“若若m0,则则 x2+x-m=
3、0有实数根有实数根”的逆否命题的真假的逆否命题的真假.解解:原原命题的逆否命题是命题的逆否命题是“若若x2+x-m=0无实数根,无实数根,则则m0.”x2+x-m=0无实数根无实数根,=1+4m0.mb0,那么,那么分析:分析:运用反证法证明这道题时,怎样进行反设?运用反证法证明这道题时,怎样进行反设?的反面是否仅有的反面是否仅有?证明证明:假设:假设 不大于不大于 ,则,则 因为因为a0,b0,所以,所以 这些都同已知条件这些都同已知条件ab0 矛盾矛盾 所以所以 例例2 2、用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不、用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分能互相平分 已知已知:如
4、图,在:如图,在 O中,弦中,弦 AB、CD相交于相交于 P点,点,且且 AB、CD不是直径不是直径求证求证:弦:弦AB、CD不都被不都被P点平分点平分分析分析:“弦弦AB、CD不都被不都被P点平分点平分”的的反面是反面是“弦弦AB、CD都被都被P点平分点平分”,因而反设是因而反设是“假设弦假设弦AB、CD都被都被P点平分点平分”证证明明:假设弦假设弦AB、CD都被都被P点平分,点平分,由于由于P点不是点不是圆圆心心O,连结连结OP,由垂径,由垂径定理的推定理的推论论得得OPAB,OPCD,这样这样过过P点有两条直线与点有两条直线与OP都垂直与垂线的性质矛盾都垂直与垂线的性质矛盾,所以,弦所以
5、,弦AB、CD不都被不都被P点平分点平分 这道题用反证法证明的另外一种方法这道题用反证法证明的另外一种方法 连结连结 AD、BD、BC、AC 反设仍是反设仍是“弦弦AB、CD能被能被P点平分点平分”因为因为 AP=PB,CP=PD,所以四边形,所以四边形ABCD是平行四边形,而圆内接平行四边是平行四边形,而圆内接平行四边形必是矩形,则其对角线形必是矩形,则其对角线AB、CD必是圆必是圆O的直径,这的直径,这与假设矛盾,所以结论与假设矛盾,所以结论“弦弦AB、CD不被不被P点平分点平分”成立成立证明证明:假设两个方程都没有实数根,则:假设两个方程都没有实数根,则10,20 从而从而120 又又1
6、2(p124q1)+(p224q2)=p12+p224(q1+q2)由已知由已知p1p2=2(q1+q2)可知可知 12p12+p222p1p2=(p1-p2)20,这样与这样与相矛盾,所以假设不成立相矛盾,所以假设不成立 所以所给的两个方程中至少有一个有实数根所以所给的两个方程中至少有一个有实数根例例3、若、若p1p2=2(q1+q2),证明:关于,证明:关于x的方程的方程x2+p1x+q1=0与与x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实数根。中,至少有一个方程有实数根。点评:对于证结论点评:对于证结论是是“至少至少”,或或“至多至多”的的命题,宜用反证法命题,宜用反证法1.已知下列三个
7、方程已知下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0.若至少有一个方程有实数根,求实数若至少有一个方程有实数根,求实数 a的取值范围的取值范围.练练 习习分析分析:本题的正面共有本题的正面共有7种情况,因此,正面解太种情况,因此,正面解太复杂;而反面只有复杂;而反面只有一种情况,因此,采用反证法一种情况,因此,采用反证法的原理来解决本问题,使过程大大简化的原理来解决本问题,使过程大大简化.1 1初步理解反证法的理论依据是原命题与其逆否初步理解反证法的理论依据是原命题与其逆否命题的等价性。初步掌握用反证法证题的一般步命题的等价性。初步掌握用反证法证题的一般步骤:(骤:(1 1)反设;()反设;(2 2)归谬;()归谬;(3 3)结论)结论 归谬归谬 1:1:与题设矛盾与题设矛盾 2:2:与公理或定理矛盾与公理或定理矛盾 3:3:自相自相矛盾矛盾.2 2正难则反正难则反的思想的思想 3 3对于证明结论是对于证明结论是“至少至少”“”“至多至多”“”“唯一唯一”“”“都是都是”的命题,宜用反证法的命题,宜用反证法小小 结结
限制150内