2019版高中数学 第一章1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程学案 新人教A版选修2-2.doc
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1、11 15.15.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 1 15.25.2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲” 、 “以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程知识点一 曲边梯形的面积思考 1 如何计算下列两图形的面积?答案 直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解思考 2 如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别?答案 已知图形是由直线x1,y0 和曲线yx2所围成的,可称为曲边梯形,曲边梯形的一条边为曲线段,而“直边图形”的所有边都是直线段梳理 曲边梯形的概念及面积求法(1)曲边梯形:由直线xa,xb(ab),y0 和曲线yf(x)所围
2、成的图形称为曲边梯形(如图所示)(2)求曲边梯形面积的方法把区间a,b分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形对每个小曲边梯形“以直代曲” ,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值(如图所示)(3)求曲边梯形面积的步骤:分割;近似代替;求和;取极限2知识点二 求变速直线运动的(位移)路程一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为vv(t),那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在atb内所作的位移s.1求汽车行驶的路程时,分割的区间表示汽车行驶的路程( )2当n很大时,函数f(x)x2在区
3、间上的值,只能用2近似代替( )i1 n,in(i n)3利用求和符号计算(i1)40.( )4 i1i类型一 求曲边梯形的面积例 1 求由直线x0,x2,y0 与曲线yx21 所围成的曲边梯形的面积参考公式1222n21 6nn12n1考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲线梯形的面积问题解 令f(x)x21.(1)分割将区间0,2n等分,分点依次为x00,x1 ,x2 ,xn1,xn2.2 n4 n2n1n第i个区间为(i1,2,n),每个区间长度为 x .2i2 n,2in2i n2i2 n2 n(2)近似代替、求和取i(i1,2,n),2i nSn xn i1f(2i n) 22n i1
4、(2i n)212 n8 n3n i1i(1222n2)28 n3328 n3nn12n162.4 3(23 n1 n2)(3)取极限SSn ,limnlimn4 3(23 n1 n2)214 3即所求曲边梯形的面积为.14 3反思与感悟 求曲边梯形的面积(1)思想:以直代曲(2)步骤:分割近似代替求和取极限(3)关键:近似代替(4)结果:分割越细,面积越精确(5)求和时可用一些常见的求和公式,如123n,nn12122232n2,nn12n16132333n32.nn12跟踪训练 1 求由直线x0,x1,y0 和曲线yx2所围成的图形的面积考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题
5、解 (1)分割将区间0,1等分为n个小区间:,其中i1,2,n,每个小区间的长0,1 n 1 n,2 n 2 n,3 ni1 n,inn1 n,1度为x .i ni1 n1 n过各分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别记作S1,S2,Sn.(2)近似代替在区间(i1,2,n)上,以处的函数值2为高,小区间的长度 xi1 n,ini1 n(i1 n)4为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积,即1 nSi2 .(i1 n)1 n(3)求和Si2 0 2 2 2 1222(n1)n i1n i1(i1 n)1 n1 n(1 n)1 n(2 n)1 n(n1 n)1 n
6、1 n32 .1 31 2n1 6n2(4)取极限曲边梯形的面积S .limn(1 31 2n1 6n2)1 3类型二 求变速运动的路程例 2 当汽车以速度v做匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程svt.如果汽车做变速直线运动,在时刻t的速度为v(t)t22(单位:km/h),那么它在 1t2(单位:h)这段时间行驶的路程是多少?考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题解 将区间1,2等分成n个小区间,第i个小区间为.1i1 n,1in所以 siv .(1i1 n)1 nsnv ni1(1i1 n)1 n1 nni1(1i1 n)22 1 nni1i12n22i1n3Error!Er
7、ror!1 n3.n12n16n2n1 ns sn .limnlimn3n12n16n2n1n13 3所以这段时间行驶的路程为 km.13 3引申探究 本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高,试求出行驶路程,比较两次求出的结果5是否一样?解 将区间1,2等分成n个小区间,第i个小区间为.1i1 n,1in所以 siv .(1i n)1 nsnvni1(1i n)1 n31222(n1)2n22462(n1)2n1 n31 n23.n12n16n2n1 ns sn .limnlimn3n12n16n2n1n13 3所以这段时间行驶的路程为 km.13 3所以分别用小区间的两个端点求出的行驶
8、路程是相同的反思与感悟 求变速直线运动路程的问题,方法和步骤类似于求曲边梯形的面积,用“以直代曲” “逼近”的思想求解求解过程为:分割、近似代替、求和、取极限应特别注意变速直线运动的时间区间跟踪训练 2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶,汽车在时刻t的速度为v(t)t25(单位:km/h),试计算这辆汽车在 0t2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题解 (1)分割:在区间0,2上等间隔插入n1 个点,将区间分成n个小区间,记第i个小区间为(i1,2,n),t .则汽车在时间段,2i1n,2in2 n0,2 n 2 n,4 n上行驶的路
9、程分别记为:s1,s2,si,sn,有snsi.2n1n,2nnn i1(2)近似代替:取i(i1,2,n),2i nsivt(2i n)(2i n)252 n (i1,2,n)4i2 n22 n10 n(3)求和:snsin i1n i1(4i2 n22n10 n)6810.1 3(11 n)(11 2n)(4)取极限:ssnlimn .limn81 3(11 n)(11 2n)1022 31把区间1,3 n等分,所得n个小区间的长度均为( )A. B. C. D.1 n2 n3 n1 2n考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 B解析 区间1,3的长度为 2,故n等分后,
10、每个小区间的长度均为 .2 n2在“近似代替”中,函数f(x)在区间xi,xi1上的近似值等于( )A只能是左端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi,xi1)D以上答案均正确考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 C3一物体沿直线运动,其速度v(t)t,这个物体在t0 到t1 这段时间内所走的路程为( )A. B. C1 D.1 31 23 2考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题答案 B4._.n i1i n考点 求曲边梯形的面积问题题点 求和符号的表示7答案 n1 2解析 (12n)n i1i n1
11、 n .1 nnn12n1 25求由曲线yx2与直线x1,x2,y0 所围成的平面图形面积时,把区间 5 等分,1 2则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 1.02解析 将区间 5 等分所得的小区间为,1,6 5 6 5,7 5 7 5,8 5 8 5,9 5 9 5,2于是所求平面图形的面积近似等于1.02.1 10(136 2549 2564 2581 25)1 10255 25求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤(1)分割:n等分区间a,b;(2)近似代替:取点ixi1,xi;(3)求和:(i);n i1fba n(4)取极限
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