高数1章1节.pptx
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1、“实在不知道放什么就干脆把书扫成PDF了。”冯嘉宁 郭海波 汪吉 2015-10-10Chapter 1-1映射与函数“关于集合的一些”AB邻域以a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作N(a)。设是任一正数,则开区间(a-,a+)就是点a的一个邻域,这个邻域称为点a的邻域。记作N(a,),即N(a,)=x|a-x a+。中心与半径点a称为这邻域的中心,称为这邻域的半径去心邻域点a的邻域去掉中心a后,称为点a的去心邻域,表达方法是在U上标一个小的0。有时把开区间(a-,a)称为a的左邻域,把开区间(a,a+)称为a的右邻域。“关于映射的一些”设A、B是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对A
2、中的每个元素a,按法则f,在B中有唯一确定的元素b与之对应,则称f为从A到B的映射,记作f:AB。其中,b称为元素a在映射f下的象,记作:b=f(a);a称为b关于映射f的原象。集合B中所有元素的象的集合称为映射f的值域,记作f(A)。注意:(1)对于A中不同的元素,在B中不一定有不同的象,即可以多对一;(2)构成一个映射必须具备的三个基本要素 1、集合X,即定义域f=X 2、集合Y,即限制值勤域的范围:Rf是Y的子集 3、对应规则f,使每个xX,有惟一确定的y=f(x)与之对应。设f是从集合A到集合B的映射,若f(A)=B,即B中任一元素b都是A中某元素的像,则称f为A到B上的满射;若对A中
3、任意两个不同元素 a(1)不等于 a(2),它们的像 f 不等于 f,则称f为A到B的单射;若映射f既是单射,又是满射,则称映射f为A到B的“双射”(或“一一映射”)。函数为双射,当且仅当每个可能的像有且仅有一个变量与之对应。函数f:A B为双射当且仅当对任意bB 存在唯一aA满足 f(a)=b。假设存在关于x的函数:y=2x+3,对于任何xR及yR,由于y是x的线性函数,因此对于任何x都有唯一确定的y与其对应。又通过整理可以得到x=(y-3)/2,因此对于任何y,也有唯一确定的x与其对应。这样,在y=2x+3在xR、yR的域中就是一个双射函数。而对于函数y=x2+2,对于xR、yR的取值范围
4、内,对于任何x,都有唯一确定的y与其对应。但对于y2,任何y都对应2个不同的x。这样y=x+2在xR、yR的取值范围内,不是双射函数。但对于x0,+)、y2,+)。对于任何x,都有唯一确定的y与之对应,而对于任何y,都有x=(y-2)0.5,即唯一确定的x与之对应。因此它是一个双射函数“逆映射与复合映射”假如f,g互为逆映射,则f(g(x)=g(f(x)=x例如f(x)=x3,g(x)=x(1/3)f(g(x)=x(1/3)3=x=g(f(x)只有单调函数有反函数,映射只有“一对一”的情况下才有逆映射,否则“一对多”的情况逆映射就变成“多对一”,不满足映射成立的条件只有单设才存在逆映射,但不是
5、一定存在双射一定有逆映射f(g(x)即为复合映射,即指多个映射的叠加,可以是f(g(h(x),写作f o g o h例如g(x)=x2,f(x)=x+1f(g(x)=f(x2)=x2+1“关于函数的一些”对于任何实数x,存在y=x三角函数和差化积sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2积化和差sincos=(1/2)sin(+)+sin(-)cossin=(1/2)sin(+)-sin(-)coscos=(1/2)cos(+)+cos
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