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1、1第十一讲第十一讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系【学习目标学习目标】 1、理解直线和圆的相交、相切、相离的概念。 2、掌握切线的判定定理,性质定理和切线长定理,并会利用它们解决有关问题。 3、会画圆的切线和三角形的内切圆,掌握三角形内心的概念。 4、掌握弦切角的概念和弦切角定理。 5、掌握相交弦定理、切割线定理及推论,并会利用它们解决有关问题。 【知识框图知识框图】相离 dr 相交弦定理 直线与圆的 相交 dr 切割线定理的推论 位置关系 弦切角定理 相切 dr 切线长定理 切割线定理 【典型例题典型例题】 例 1:如图,已知 AB 是O 的直径,延长 AB 到 D,使 BD=OB,D
2、C 切O 于 C,求A 的度数。分析:本题条件中,没有给出角的度数条件,因此需要挖掘隐含度数的条件,由 AB 是O 的直径可想到连接 BC,则ACB=900给解本题创造了条件,又注意到 DC 是O 的切线,于 是得解。 解:连接 OC、BC 则 OCCD C 在 RtOCD 中,OC=OB=BD A O B DOD=2OC SinD= = D=300 又BO=BD CB=BD BCD=D=300 DC 是O 的切线 A=BCD=300 或者,在求得D=30 后,可得COB=60,由三角形外角的性质可知A= COB=300 例 2:如图,若过O 上一点 A 作A 交O 于 B、C,过点 A 的直
3、线交O 于 E,A 交A 于 D、G,交 BC 于 F, 求证:EFAF=AD2-AF2 分析:显然本题两圆中都含有相交弦,可从相交弦入手。在O 中有 EFFA=BFFC,在 A 中有 DFFG=BFFC,则 EFFA=DFFG。我们可把 DF=AD-AF,FG=AG+AF 代入,又有 AD=AG,就 易得 EFAF=AD2-AF2。 证明:EFFA=BFCF BFCF=DFFG EFFA=DFFG DF=AD-AF, FG=AF+FG 又AD=AG EFFA=(AD-AF) (AF+FG)=AD2-AF2 评注:有的等积式很复杂,就出现了差(和)问题,对于这一类问题最终是要化成四条线 段组成
4、的等式,这主要是通过等量代换来证明,但注意不要生般硬套,要分情况,有时可 用线段的拆拼,有时可考虑到提公因式,都能把和(差)变成积。 例 3:如图,在 ABC 中,B=900,D 是 BC 上一点,BD=BA=a,以 O 为圆心 BD 为直径的半2圆与 AC 相切于点 M。 (1)求证:MC=2 CD(2)求 AC 的长 分析:本题的条件中隐含着多对三角形相似,并且 DO=OB=OM=a= AB,由此联想到 MC=2CD,可转化为线段相似比来证。 解:(1)连 OM、DM、BM AC 切O 于 M CMD=CBM CMO=Rt CMDCMB CMOCAB = = = =2 = =2 即 MC=
5、2CD(2)设 MC=x 则 BC=2x B=900 AC2=AB2+BC2 (a+x) 2=a2+(2x) 2 解得 x= a AC= a 评注:在几何证明或计计算中,如果能利用一些基本图形和基本结论,往往能使思路简化, 并且繁杂图形又往往是几个基本结论的组合,所以掌握这些基本图形和基本结论很必要。 【选讲例题选讲例题】 例 4:如图,O 内接 ABC,AQBC 于 D,交O 于 Q,AD 是O的直径,O交 AB 于 M,交 AC 于 N,AQ 交 MN 于 P,求证:(1)OAMN(2)AD=APAQ 分析:(1)要证 OAMN,须证CMA+MAO=90,延长 AO 为直径 AE,连结 B
6、E,则 ABE=900,要证明人CMA+MAO=900,只须证CMA=E 即可,而E=ACB,AD 是O 的直径,连接 DN,AND=900,ADN=CMA,若ACB=ADN 即可,由 ADBC 可得ADN=ACB (2)要证 AD2=APAQ,而 AP、AD 共线,不便于用相似三角形证,由图形特点我们联想, 得到 AD2=ANAC,则只须证 ANAC=APAQ,可那么须证 APNACQ,连接 CQ,只须证 ANM=Q,而Q=ABC,若ANM=ABC 则可得。由于上题得到CMA=ACB,能得到 AMNACB,显然ACM=ABC,于是思路疏通。 证明:(1)延长 AO 交O 于 E,连接 BE,
7、ND AE、AD 分别为O、O的直径 ABE=ADN=900,BAO+E=900 ADBC ACB=ADN=CMA, CMA=E=ACB BAO+CMA=900 即 OAMN (2)连接 QC, 则Q=ABC CMA=ACB MAN=CAB MANACB ANM=ABC ANM=Q E 又PAN=CAQ APNACQ APAQ=ANAC ADC=900 DNAC DANCAD AD2=ANAC AD2=APAQ 【课堂小结课堂小结】 圆是平面几何的核心内容,是初中几何的最后一章,要整个初中几何中属于综合,提 高阶段。在直线与圆的位置关系这一章节中,可与三角函数和代数知识紧密联系,了解一3些基本
8、图形和基本结论培养学生数形结合、分类讨论、合理运算及综合运用知识的能力。 【基础练习基础练习】 1、已知圆内接四边形 ABCD 中,AB 与 DC 的反向延长线相交于 N,BC 与 AD 的延长线相交于 M,若M=400,N=200,则A=_. 2、如图,在O 内接四边形 ABDC 中,BDAC,OMAB,M 为垂足,求证:OM= CD。 3、如图,已知O 的弦 CD 与 AB 相交于 P 点,PEDA,且交 BC 的延长线于点 E,又 EF 切 O 于 F,求证:EPF=EFP。 4、如图,已知O与O外切于 P,AB 为两圆的外公切线,AB 为切点,AP 交O于 C,BP 交O于 D,求证
9、AB=APPC+BPPDD C D A BA PO PA M B B C E CF D(2) (3) (4) 【巩固练习巩固练习】 1、AB 是O 的弦,CD 是经过O 上一点 M 的切线,ABCD,求证:AM=MB 2、如图,AB 切O 于点 B ,BCAO 于 C,求证:1=2 3、已知,正方形的对角线 AC 和 BE 相交于点 M,求证:ME=AB 且 M 是 EB 的黄金分割点。C M D DO C D A E CA B B M (1) (2) (3) A B 4、如图,三角形 ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的O 分别与 BC,AC 相交于 D,G 两点,作 DEAC 于 E,连结 BE 交O 于 F。 求证:(1)DE 是O 的切线(2)DG=DC(3)AEEC=BEEF 5、如图,在 RtABC 中,B=900,D 为 AB 上的一点,以 BD 为直径的半圆 O 与 AC 相切于 E,若 BD=BD=6,求 AC 6、如图,已知 AB 是O 的直径,PB 是O 的切线,B 为切点,且 PB=AB,过 B 作 PO 的垂 线分别交 PO、PA 于 C、D。 (1)求证: = (2)若 AD=a,求 PD 的长。PAC D CG E A O BF E A D O BB D C(4) (5) (6) 【课后反思课后反思】
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