2019版高中数学 第一章 计数原理 1.4 计数应用题学案 苏教版选修2-3.doc
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1、- 1 -1.41.4 计数应用题计数应用题学习目标 1.进一步理解和掌握两个计数原理.2.进一步深化理解排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题类型一 两个计数原理的应用命题角度1 “类中有步”的计数问题例 1 电视台在某节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有 30 封,乙信箱中有 20 封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有_种不同的结果反思与感悟 用流程图描述计数问题,类中有步的情形如图所示:具体意义如下:从A到B算作一件事的完成,完成这件事有两类办法,在第 1 类办法中有 3 步,在第
2、2 类办法中有 2 步,每步的方法数如图所示所以,完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5,“类”与“步”可进一步地理解为:“类”用“”号连接, “步”用“”号连接, “类”独立, “步”连续, “类”标志一件事的完成, “步”缺一不可跟踪训练 1 现有 4 种不同颜色,要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有_种命题角度2 “步中有类”的计数问题例 2 有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重” 、 “立定跳远” 、 “肺活量” 、 “握力” 、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复若上午不测“握力”项目,
3、下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测一人,则不同的安排方式共有_种(用数字作答)反思与感悟 用流程图描述计数问题,步中有类的情形如图所示:- 2 -从计数的角度看,由A到D算作完成一件事,可简单地记为AD.完成AD这件事,需要经历三步,即AB,BC,CD.其中BC这步又分为三类,这就是步中有类其中mi(i1,2,3,4,5)表示相应步的方法数完成AD这件事的方法数为m1(m2m3m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法跟踪训练 2 如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式共有_种类型二 有限制条件的排列问题例 3 3 个女生和 5 个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起,有
4、多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法?(4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法?(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻),有多少种不同的排法?反思与感悟 (1)排列问题的限制条件一般表现为:某些元素不能在某个位置,某个位置只能放某些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置,再去排其他元素当用直接法比较麻烦时,可以用间接法,先不考虑限制条件,把所有的排列数算出,再从中减去全部不符合- 3 -条件的排列数,这种方法也称为“去杂法” ,但必须注意要不重复,不遗漏(去尽)(2)对于某些特殊问题,可采取相对固定的特殊方法,如
5、相邻问题,可用“捆绑法” ,即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列,再进行内部排列;不相邻问题,则用“插空法” ,即先排其他元素,再将不相邻元素排入形成的空位中跟踪训练 3 用 0 到 9 这 10 个数字,(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数?在这些四位数中,奇数有多少个?(2)可以组成多少个只含有 2 个相同数字的三位数?类型三 排列与组合的综合应用命题角度1 不同元素的排列、组合问题例 4 有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片,从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10,则不
6、同的排法共有多少种?反思与感悟 (1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排” ,也就是先把符合题意的- 4 -元素都选出来,再对元素或位置进行排列(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点:元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法跟踪训练 4 从 1,3,5,7,9 中任取 3 个数字,从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数?命题角度2 含有相同元素的排列、组合问题例 5 将 10 个优
7、秀名额分配到一班、二班、三班 3 个班级中,若各班名额数不小于班级序号数,则共有_种不同的分配方案反思与感悟 凡“相同小球放入不同盒中”的问题,即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题,一般可用“隔板法”求解:(1)当每组至少含一个元素时,其不同分组方式有NC种,即将n个元素中间的n1m1n1个空格中加入m1 个“隔板” (2)任意分组,可出现某些组含元素为 0 个的情况,其不同分组方式有NC种,即m1nm1将n个相同元素与m1 个相同“隔板”进行排序,在nm1 个位置中选m1 个安排“隔板” - 5 -跟踪训练 5 用 2,3,4,5,6,7 六个数字,可以组成有重复数字的三
8、位数的个数为_- 6 -1李芳有 4 件不同颜色的衬衣,3 件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙 “五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则李芳有_种不同的选择方式2包括甲、乙在内的 7 个人站成一排,其中甲在乙的左侧(可以不相邻),有_种站法3从 0,2,4 中取一个数字,从 1,3,5 中取两个数字,组成无重复数字的三位数,则所有不同的三位数的个数是_4某电视台连续播放 5 个广告,其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的公益宣传广告,要求最后播放的必须是公益宣传广告,且 2 个公益宣传广告不能连续播放,则不同的播放方式有_种5已知xi1,0,1,i1,2,3,4,5,6,则满足x
9、1x2x3x4x5x62 的数组(x1,x2,x3,x4,x5,x6)的个数为_1解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素,或充分利用元素的性质进行分类、分步,再利用两个基本计数原理作最后处理2对于较难直接解决的问题则可用间接法,但应做到不重不漏3对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏- 7 -答案精析答案精析题型探究例 1 28 800解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星,决定了后边选幸运伙伴是不同的,故要分两类分别计算:(1)幸运之星在甲箱中抽,先确定幸运之星,再在两箱中各确定一名幸运伙伴,有30292017 400(种)结果
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