2019版高中数学 第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用学案 新人教A版选修2-3.doc
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1、13.13.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用学习目标 1.了解随机误差、残差、残差图的概念.2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果.3.掌握建立线性回归模型的步骤知识点一 线性回归模型思考 某电脑公司有 5 名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表:推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345请问如何表示推销金额y与工作年限x之间的相关关系?y关于x的线性回归方程是什么?答案 画出散点图,由图可知,样本点散布在一条直线附近,因此可用回归直线表示变量之间的相关关系设所求的线性回归方程为 x ,yba则 0.5,b5 i1xix
2、yiy5 i1xix210 20 0.4.aybx所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为 0.5x0.4.y梳理 (1)函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系(2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法(3)对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为2, ,其中( , )称为样本点的中心bn i1xixyiyn i1xix2n i1xiyinx yn i1x2inx2aybxxy(4)线性回归模型ybxae,其中a和b是模型的未知参数,e称为随机误差,自变量x称
3、为解释变量,因变量y称为预报变量知识点二 线性回归分析具有相关关系的两个变量的线性回归方程为 x .yba思考 1 预报变量 与真实值y一样吗?y答案 不一定思考 2 预报值 与真实值y之间误差大了好还是小了好?y答案 越小越好梳理 (1)残差平方和法iyiiyixi (i1,2,n)称为相应于点(xi,yi)的残差eyba残差平方和(yii)2越小,模型的拟合效果越好n i1y(2)残差图法残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高(3)利用相关指数R2刻画回归效果其计算公式为:R21,其几何意义:R2越
4、接近于 1,表示回归的效果越好n i1yiyi2n i1yiy2知识点三 建立回归模型的基本步骤1确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量2画出解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)3由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系,则选用线性回归方程)4按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数5得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大,残差呈现不随机的规律性等)若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等31求线性回归方程前可以不进行相关性检验( )2在残差图中,纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号( )3利用线性回归方
5、程求出的值是准确值( )类型一 求线性回归方程例 1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据:x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 x ;yba(3)试根据求出的线性回归方程,预测记忆力为 9 的同学的判断力(相关公式:bn i1xiyinxyn i1x2inx2,aybx)考点 线性回归方程题点 求线性回归方程解 (1)如图:(2)iyi6283105126158,4 i1x9,x681012 44,y2356 446282102122344,4 i1x 2i0.7,b1584 9
6、4 3444 9214 20 40.792.3,aybx故线性回归方程为 0.7x2.3.y(3)由(2)中线性回归方程可知,当x9 时, 0.792.34,预测记忆力为 9 的同学的y判断力约为 4.反思与感悟 (1)求线性回归方程的基本步骤列出散点图,从直观上分析数据间是否存在线性相关关系计算: ,iyi.x yn i1x 2in i1y 2in i1x代入公式求出 x 中参数 , 的值ybaba写出线性回归方程并对实际问题作出估计(2)需特别注意的是,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归方程才有实际意义,否则求出的回归方程毫无意义跟踪训练 1 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维
7、修费用y(万元)有如下的统计数据:x23456y2.23.85.56.57.0由此资料可知y对x呈线性相关关系(1)求线性回归方程;(2)求使用年限为 10 年时,该设备的维修费用为多少?考点 线性回归方程题点 求线性回归方程解 (1)由上表中的数据可得4, 5,90,iyi112.3,xy5 i1x 2i5 i1x5 b5 i1xiyi5xy5 i1x2i5x21.23,112.35 4 5 905 42 51.2340.08.aybx线性回归方程为 1.23x0.08.y(2)当x10 时, 1.23100.0812.38.y即使用年限为 10 年时,该设备的维修费用约为 12.38 万元
8、类型二 回归分析命题角度1 线性回归分析例 2 在一段时间内,某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为:x1416182022y1210753求出y对x的线性回归方程,并说明拟合效果的程度考点 残差分析与相关指数题点 残差及相关指数的应用解 (1416182022)18,x1 5 (1210753)7.4.y1 51421621822022221 660,5 i1x 2iiyi14121610187205223620,5 i1x可得回归系数 b5 i1xiyi5x y5 i1x2i5x21.15,6205 18 7.4 1 6605 1826所以 7.41.151828.1,a所以线性回
9、归方程为 1.15x28.1.y列出残差表:yiiy00.30.40.10.2yiy4.62.60.42.44.4则(yii)20.3,(yi )253.2.5 i1y5 i1yR210.994.5 i1yiyi25 i1yiy2所以回归模型的拟合效果很好反思与感悟 (1)该类题属于线性回归问题,解答此类题应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关,然后再利用求回归方程的公式求解回归方程,并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果,在此基础上,借助线性回归方程对实际问题进行分析(2)刻画回归效果的三种方法残差图法,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适残差平方和
10、法:残差平方和(yii)2越小,模型的拟合效果越好n i1y相关指数法:R21越接近 1,表明回归的效果越好n i1yiyi2n i1yiy2跟踪训练 2 关于x与y有如下数据:x24568y3040605070有如下的两个线性模型:(1) 6.5x17.5;(2) 7x17.试比较哪一个拟合效果更好yy考点 残差分析与相关指数题点 残差及相关指数的应用7解 由(1)可得yii与yi 的关系如下表:yyyiiy0.53.5106.50.5yiy201010020(yii)2(0.5)2(3.5)2102(6.5)20.52155,5 i1y(yi )2(20)2(10)2102022021 0
11、00.5 i1yR110.845.2 15 i1yiyi25 i1yiy2155 1 000由(2)可得yii与yi 的关系如下表:yyyiiy15893yiy201010020(yii)2(1)2(5)282(9)2(3)2180,5 i1y(yi )2(20)2(10)2102022021 000.5 i1yR110.82.2 25 i1yiyi25 i1yiy2180 1 000由于R0.845,R0.82,0.8450.82,2 12 2RR.2 12 2(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果命题角度2 非线性回归分析例 3 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单
12、位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响对近 8 年的年宣传费xi和年销售量8yi(i1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值xyw(xi )28 i1x(wi )28 i1w(xi )8 i1x(yi )y(wi )8 i1w(yi )y46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi, i.xiw1 88 i1w(1)根据散点图判断,yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的x回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z与x,
13、y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题:年宣传费x49 时,年销售量及年利润的预报值是多少?年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为, .n i1uiuvivn i1uiu2vu考点 非线性回归分析题点 非线性回归分析解 (1)由散点图可以判断,ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类x型(2)令w,先建立y关于w的线性回归方程x9由于 68,d8 i1wiwyiy8 i1wiw2108.8 1.6 563686.8100.6,cydw所以y关于w的线性回归方程
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