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1、第四节第四节 复合函数求导法则复合函数求导法则先回忆一下一元复合函数的微分法则:先回忆一下一元复合函数的微分法则:,则复合函数,则复合函数 对对 x 的导数为:的导数为:这一节我们将把这一求导法则推广到多元函这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形,主要介绍多元复合函数的微分法和隐数的情形,主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道,求偏导数与求一元函函数的微分法。我们知道,求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别,对一元函数适用的数的导数本质上并没有区别,对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内,在多元函数微分法包括复合函数的微分法在内,在多元函数微分法中仍然适用微
2、分法中仍然适用.那么为什么还要介绍多元那么为什么还要介绍多元复合函数的微分呢?复合函数的微分呢?这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如如它是由它是由复合而成的复合而成的由于由于 f 没有具体给出,没有具体给出,一元复合函数的微分法则就无能为力了,为此要一元复合函数的微分法则就无能为力了,为此要引入多元复合函数的微分法来解决这一问题。引入多元复合函数的微分法来解决这一问题。一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理.若函数处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数证证:设 t 取增量t,则相应中间变量且有链式法则有增量u,v,
3、(全导数公式全导数公式)(t0 时,根式前加“”号)推广推广:1)中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.例如,又如,当它们都具有可微条件时,有注意注意:这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀口诀:分线相加分线相加,连线相乘连线相乘与不同,设,求令则 例例解解例例2.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解设求 例例解解设求 例例解解设求 自己做 例例解解设函数均可微,求g g 例例解解设函数均可微,求g g 例例解解为简便起见,引入记号例例.设 f 具有二阶连续偏导数,求
4、解解:令则二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质:无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数,它的全微分形式是一样的的函数,它的全微分形式是一样的.利用全微分形式不变性,在逐步作微分运算的利用全微分形式不变性,在逐步作微分运算的过程中,不论变量间的关系如何错综复杂,都可以过程中,不论变量间的关系如何错综复杂,都可以不加辨认和区分,而一律作为自变量来处理不加辨认和区分,而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分且作微分运算的结果对自变量的微分 来说是线性的,从而为解题带来很多方便,而来说是线性的,从而为解题带来很
5、多方便,而且也不易出错。且也不易出错。设应用全微分形式不变性求与比较,得 例例解解设应用全微分形式不变性求与比较,得 例例解解总结:总结:关于多元复合函数求偏导问题关于多元复合函数求偏导问题 这是一项基本技能,要求熟练掌握,尤其是这是一项基本技能,要求熟练掌握,尤其是求二阶偏导数,既是重点又是难点。对求导公式求二阶偏导数,既是重点又是难点。对求导公式不求强记,而要切实做到彻底理解。注意以下几不求强记,而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式,在解题时自如地点将会有助于领会和理解公式,在解题时自如地运用公式:运用公式:用图示法表示出函数的复合关系用图示法表示出函数的复合关系函数
6、对某个自变量的偏导数的结构函数对某个自变量的偏导数的结构(项数及项的构成)(项数及项的构成)的结构是求抽象的复合函的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键数的二阶偏导数的关键 弄清弄清 仍是复合函数仍是复合函数且复合结构与原来的且复合结构与原来的 f(u,v)完全相同完全相同即仍是以即仍是以 u,v 为中间变量,以为中间变量,以 x,y 为自变量的为自变量的复合函数复合函数因此,求它们关于因此,求它们关于 x,y 的偏导数时必须使链式法则的偏导数时必须使链式法则在具体计算中最容易出错的地方是对在具体计算中最容易出错的地方是对 再求偏导数这一步再求偏导数这一步 是与是与 f(u,v)具有相同结
7、构的复合函数,易被误认为仅是具有相同结构的复合函数,易被误认为仅是 u 的函数,从而导致漏掉的函数,从而导致漏掉原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函数的偏导数时,一定要设中间变量求抽象函数的偏导数时,一定要设中间变量注意引用这些公式的条件注意引用这些公式的条件外层函数可微(偏导数连续)外层函数可微(偏导数连续)内层函数可导内层函数可导 的合并问题的合并问题视题设条件而定。视题设条件而定。三、小结三、小结1、链式法则、链式法则(分三种情况)(分三种情况)(特别要注意课中所讲的特殊情况)(特别要注意课中所讲的特殊情况)2、全微分形式不变性、全微分形式不变性(理解其实质)(理解其实质)思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P31 题7P31 题7;8(2);P73 题11机动 目录 上页 下页 返回 结束 P31 题8(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P31 2;4;6;9;10;12(4);13 P73题 11第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知求解解:由两边对 x 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求在点处可微,且设函数解解:由题设(2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P31 2;4;6;8(2)(3);11;12(4);
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