2.5 埃尔米特插值.ppt
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1、2.5 2.5 埃尔米特插值埃尔米特插值 有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等,下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况.满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式.而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等.1(5.1)这里共有 个插值条件,可唯一确定一个次数不超过的多项式 ,问题是求插值多项式 ,设在节点 上,现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法.满足条件 其形式为2将满足条件(5.1)的插值多项式 写成用插值基函数表示的形式(5.3)先求出 个插值基函数 及 ,每一个基函数都是 次多项式,且满足条件(5.2)3令 由条件(5.2),有 由插值基
2、函数所满足的条件(5.2),有 下面的问题就是如何求出这些基函数 及 利用拉格朗日插值基函数4解出 由于 整理得 5于是(5.4)两端取对数再求导,得 同理,可得(5.5)6 可以证明满足条件(5.1)的插值多项式是惟一的.用反证法,假设 及 均满足条件(5.1),这样,有 重根,但 是不高于 次的多 项式,于是在每个节点 上的值及导数值均为零,即 为二重根.故惟一性成立.7其中 且与 有关.若 在 内的 阶导数存在,则其插值余项(5.6)仿照拉格朗日插值余项的证明方法,可以证明:8 插值多项式(5.3)的重要特例是 的情形.这时可取节点为 及 ,插值多项式为 ,(5.7)相应的插值基函数为它
3、们满足条件 满足910(5.8)(5.9)根据 及 的一般表达式(5.4)及(5.5),可得到11(5.10)其余项 ,于是满足条件(5.7)的插值多项式是 由(5.6)得12 求满足 及 由给定的4个条件,可确定次数不超过3的插值多项式.由于此多项式通过点的插值多项式及其余项表达式.例例4 4故其形式为13待定常数 ,可由条件 确定,其中 为待定函数.为了求出余项 的表达式,通过计算可得 可设14显然故 在 内有5个零点(二重根算两个).反复应用罗尔定理,得 在 内至少有一个零点,构造且故有15(5.11)式中 位于 和 所界定的范围内.余项表达式为 于是 162.6 2.6 分段低次插值分
4、段低次插值 2.6.1 2.6.1 高次插值的病态性质高次插值的病态性质 这是因为对任意的插值节点,当 时,不一定收敛到 .在次数 增加时逼近 的精度不一定也增加.根据区间 上给出的节点做出的插值多项式17所构造的拉格朗日插值多项式为 以 上的 个等距节点 考虑函数 ,它在 上的各阶导数均存在.令则18 表2-5列出了 时的 的计算结果及 在 上的误差19 可见,随 的增加,的绝对值几乎成倍增加.这说明当 时 在 上是不收敛的.Runge证明了,存在一个常数 ,使得当 时,而当 时 发散.20 取 根据计算画出 及 在 上的图形,见图2-5.图2-521 从图上看到,在 附近,与 偏离很远,这
5、说明用高次插值多项式 近似 效果并不好.通常不用高次插值,而用分段低次插值.22下图是用Matlab完成的Lagrange插值(附程序):23附:Lagrange插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=lagr1(x0,y0,x);plot(x,z,r,x,y,k:,x,y1,r)gtext(Lagr.),gtext(y=1/(1+x2)title(Lagrange)24附:Lagrange插值子程序 lagr1:function y=lagr1(x0,y0,x)n=
6、length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i);s=0.0;for k=1:n p=1.0;for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);end end s=p*y0(k)+s;end y(i)=s;end25 2.6.2 2.6.2 分段线性插值分段线性插值 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近 由于升高插值多项式的阶数有时并不能达到提高精度的效果,所以实际中往往采用分段插值的思想.分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间,然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.26 设已知节点 上的函数值 记
7、求一折线函数 ,满足:在每个小区间 上是线性函数.则称 为分段线性插值函数分段线性插值函数.27 由定义可知 在每个小区间 上可表示为(6.1)若用插值基函数表示,则在整个区间 上 为(6.2)其中基函数 满足条件 其形式是28(6.3)利用插值余项(2.17)得到分段线性插值的误差估计29或写成(6.4)其中30当 时,故 另一方面,这时 这种性质称为局部非零性质局部非零性质.分段线性插值基函数 只在 附近不为零,在其他地方均为零,利用 的局部非零性质及 知,31 现在证明 ,这里 是函数 在区间 上的连续模,即对任意两点 ,只要 就有考虑32称 为 在 上的连续模连续模,当 时,就有 由前
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