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1、4.2 换元积分法换元积分法4.2.1 第一类换元法(第一类换元法(凑微分法凑微分法)4.2.2 第二类换元法第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设可导可导,则有则有4.2.1 第一类换元法第一类换元法定理定理4.2.1.4.2.1.则有换元公式则有换元公式(也称也称配元法配元法即即,凑微分法凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1 求解解 令令则则故故原式原式=注注 当当时时机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2 求解解令令则则想到公式想到公式机动 目录
2、 上页 下页 返回 结束 例例3 3 求想到想到解解(直接配元直接配元)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 求解解 原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5 求解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地类似地常用的几种配元形式常用的几种配元形式:万万能能凑凑幂幂法法机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 6 求解解 原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7 7 求解解 原式原式=例例8 8 求求解解 原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9 9 求解法解法1 1解法解法3 3 三种方法的结果一样三种方法的结果一样机动 目录 上页 下页 返
3、回 结束 解法解法2 2例例10 10 求求解法解法1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法 2 2 同样可证同样可证或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用基本积分公式常用基本积分公式(二二)例例11 11 求解解 原式原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12 12 求求解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 用倍角公式降幂用倍角公式降幂例例13 13 求求解解原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 积化和差积化和差倍角公式倍角公式例例14 14 求求解解 原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:小结小结常
4、用简化技巧常用简化技巧:(1)分项积分分项积分:(2)降低幂次降低幂次:(3)统一函数统一函数:利用三角公式利用三角公式;配元方法配元方法(4)巧妙换元或配元巧妙换元或配元万能凑幂法万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差利用积化和差;分式分项分式分项;利用倍角公式利用倍角公式 ,如如例例15 15 求求解解(1)(1)原式原式=(2)(2)原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1 1 下列各题求积分的方法有何不同下列各题求积分的方法有何不同?机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求求提示提示:法法1 1法法2 2法法3 3作业 目录 上页 下页
5、 返回 结束 4.2.2 第二类换元法第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求易求易求若所求积分若所求积分易求易求,则得第二类换元积分法则得第二类换元积分法.难难求求,常用的第二类换元法有常用的第二类换元法有 三角代换,倒代换,根式代换三角代换,倒代换,根式代换定理定理4.2.2 设设是单调可导函数是单调可导函数 ,且且具有原函数具有原函数,证证令令则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式则有换元公式例例16 16 求求解解 令令则则 原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例17 17 求求解解 令令则则 原式原式机动
6、 目录 上页 下页 返回 结束 例例18 18 求求解解令则则 原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 令令于是于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:被积函数含有被积函数含有时时,除采用除采用采用双曲代换采用双曲代换消去根式消去根式,所得结果一致所得结果一致.或或或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换外三角代换外,还可利用公式还可利用公式原式原式例例1919 求求解解 令令则则原式原式当当 x 0 时时,类似可得同样结果类似可得同样结果.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例20 20 求求解解 令令得得原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2121 解解
7、小结小结:1.1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令或令或令或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第四四节节讲讲机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.常用基本积分公式常用基本积分公式(三三)(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换倒代换 令解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例22.22.求例例23.23.求解解:3.3.常用基本积分公式的应用常用基本积分公式的应用例例24.24.求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例25.25.求解解:原式例例26.26.求解解:原式令例16 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.已知求解解:两边求导,得则(代回原变量代回原变量)机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.求下列积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求不定积分解解:利用凑微分法,原式=令得机动 目录 上页 下页 返回 结束 分子分母同除以3.求不定积分解解:令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束
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