八年级数学下册专题突破讲练巧用勾股定理解决几何问题试题(新版)青岛版.pdf
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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料巧用勾股定理解决几何问题一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧1.构造直角三角形根据题意,合理构造直角三角形,比如等腰三角形中的求值或面积问题,经常作高构造直角三角形。如:在 ABC中,AB=AC=5,BC=8,求三角形ABC的面积。答案:12。2.利用勾股定理列方程将三角形的边用同一未知数表示,列出方程,解出所求值。(1)在翻折问题中,大多数求值都是这种应用如:如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,AD=6,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为 DG,则 AG的长为多少?答案:3。(2)求折断物体长度时,使用方程如:一根竹子高10 尺,折断后竹子顶端
2、落在离竹子底端3 尺处,折断处离地面高度是多少?答案:9120尺。3.分类讨论思想已知一个直角三角形的两边长,并没有指明是直角边还是斜边,因此要分类讨论。如:已知一个直角三角形的两边长是3cm和4cm,求第三边的长。推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料答案:5cm或7cm。4.数形结合思想几何与代数问题的综合。如:在一棵树的5 米高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树10 米的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的距离相等,问这棵树有多高?答案:7.5 米。二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律1.含有 30角的直角三角形(1)30角所对的直角边是斜边的一半;(2)60角所对的
3、直角边是30角所对直角边的3倍。2.等边三角形高等于边长的23倍。总结:(1)勾股定理的几何应用是学习的重点内容,要在直角三角形中灵活运用。(2)要有意识的训练自己辅助线的添加,经常性的思考不同问题的不同添加法。例题A1A2B是直角三角形,且A1A2=A2B=a,A2A3A1B,垂足为A3,A3A4A2B,垂足为A4,A4A5A3B,垂足为 A5,An+1An+2AnB,垂足为 An+2,则线段 An+1An+2(n 为自然数)的长为()A.na2 B.1)2(na C.2a D.na2推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料解析:先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A2A3及 A3A4的长,
4、找出规律即可解答答案:A1A2B是直角三角形,且A1A2=A2B=a,A2A3A1B,A1B=22aa=a2,A1A2B是等腰直角三角形,A2A3=A1A3=21A1B=22a=12a,同 理,A2A3B是 等 腰 直 角 三 角 形,A2A3=A3B=22a,A3A4A2B,A2B=a,A3A4=A2A4=21A1B=2a22a,线段 An+1An+2(n 为自然数)的长为na2故选 A。点拨:规律性题目,涉及到等腰三角形及直角三角形的性质,解答此题的关键是求出A2A3及 A3A4的长,并找出规律分类讨论求值近年来,在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见,因为这类试题不仅考查同学们的
5、数学基本知识与方法,而且考查了同学们思维的深刻性。在解决此类问题时,因考虑不周全导致失分的较多,究其原因主要是平时的学习中,尤其是在中考复习时,对“分类讨论”的数学思想渗透不够。所以同学们要充分考虑不同情况下的求值。例题在 ABC中,AB=13,AC=15,BC边上的高AD=12,则边 BC的长是()A.14 B.4 C.14或 4 D.56解析:分两种情况讨论:锐角三角形和钝角三角形,根据勾股定理求得BD、CD,再由图形求出BC,在锐角三角形中,BC=BD+CD,在钝角三角形中,BC=CD-BD 答案:解:(1)如图,锐角ABC中,AB=13,AC=15,BC边上高 AD=12,在 RtAB
6、D中 AB=13,AD=12,由勾股定理得:BD2=AB2-AD2=132-122=25,则 BD=5,在 RtACD中 AC=15,AD=12,由勾股定理得:CD2=AC2-AD2=152-122=81,则 CD=9,故 BC的长为 BD+DC=9+5=14;(2)钝角 ABC中,AB=13,AC=15,BC边上高 AD=12,在 RtABD中 AB=13,AD=12,由勾股定理得:BD2=AB2-AD2=132-122=25,则 BD=5,在 RtACD中 AC=15,AD=12,由勾股定理得:CD2=AC2-AD2=152-122=81,则 CD=9,故 BC的长为 DC-BD=9-5=
7、4 综上可得BC的长为 14 或 4故选 C推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(1)(2)生活中的勾股定理方案设计在实际生活中应用勾股定理。例题某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造,测得两直角边长分别为a=6 米,b=8 米现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以b 为直角边的直角三角形,则扩建后的等腰三角形花圃的周长为()米A.32 或 20+45B.32 或 36 或380C.32 或380或 20+45 D.32或 36 或380或 20+45解析:由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定,若设扩充所得的三角形是ABD,则应分为 AB=AD,AD=BD 两种情况进行讨论答案:解:如
8、图所示:在 RtABC中,AC=8m,BC=6m,AB=10m,如图 1,当 AB=AD 时,DC=BC=6m,此时等腰三角形花圃的周长=10+10+6+6=32(m);如图 2:当 AD=BD 时,设 AD=BD=x(m);Rt ACD 中,BD=x(m),CD=(x-6)m;由勾股定理,得AD2=DC2+CA2,即(x-6)2+82=x2,解得 x=325;此时等腰三角形绿地的周长=3252+10=380(m)当 AB=BD 时,在 RtACD中,AD=22CDAC=22)610(8=45,等腰三角形绿地的周长=210+45=20+45(m)故选 C(答题时间:45 分钟)一、选择题1.观
9、察以下几组勾股数,并寻找规律:4,3,5;6,8,10;8,15,17;10,24,26;,根据以上规律的第组勾股数是()推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料A.14、48、49 B.16、12、20 C.16、63、65 D.16、30、34 2.如图,一个长为10 米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 米,如果梯子的顶端下滑1 米,那么梯子的底端的滑动距离()A.等于 1 米 B.大于 1 米 C.小于 1 米 D.不能确定*3.已知 ABC是斜边长为1cm的等腰直角三角形,以RtABC的斜边 AC为直角边,画第二个等腰Rt ACD,再以 RtACD的斜边 AD为直角边,
10、画第三个等腰RtADE,依此类推,第n 个等腰直角三角形的斜边长是()A.n2cm B.12ncm C.2ncm D.12ncm*4.如图所示,一只小蚂蚁从棱长为1 的正方体的顶点A出发,经过每个面的中心点后,又回到 A点,蚂蚁爬行最短程S满足()A.5 S6 B.6 S7 C.7S8 D.8S9*5.如图,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,点D、E 在 BC上,且 DAE=45,现将 ACE绕点 A旋转至 ABE 处,连接 DE 和 EE,则下列结论中 AB DE ADE=BAE AEE 是等腰直角三角形AD EE BD2+CE2=DE2正确的有()A.1 个 B.2个 C.3个 D.4
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