内积外积混和积课件.ppt
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1、向量的内积、外积、向量的内积、外积、混和积混和积 11/17/20231向量的内积向量的内积 向向量量是是一一个个具具有有很很强强的的物物理理背背景景的的概概念念,尤尤其其在在流流体体力力学学、电电磁磁场场理理论论等等中中有有很很多多的的应应用用,要要利利用用向向量量及及其其运运算算来来反反映映诸诸多多物物理理现现象象中中量量的的关关系系,仅仅仅仅只只有有向向量量的的线线性性运运算算就就远远远远不不够够了了,还还要要不不断断充充实实向向量量的的运运算算。这这一一节节先先引引入入向向量量的的一种乘法。一种乘法。21/17/20232例例:物物体体放放在在光光滑滑水水平平面面上上,设设力力F以以与
2、与水水平平线线成成角角的的方方向向作作用用于于物物体体上上,物物体体产产生生位位移移S,求求力力F所作的功。所作的功。于是功于是功W为为:W=|F|cos|S|=|F|S|cos 为反映这一类物理现象,引入向量的内积。为反映这一类物理现象,引入向量的内积。FS 解解:根据物理知识,根据物理知识,F 可以分解成水平方向分力可以分解成水平方向分力和垂直方向分力和垂直方向分力 。其中只有与位移平行的分力。其中只有与位移平行的分力 作功,而作功,而 不作功。不作功。31/17/20233根据内积的定义,上例中的功可写作:根据内积的定义,上例中的功可写作:内积及其运算规律内积及其运算规律 定定义义 两两
3、个个向向量量与与的的内内积积是是一一个个数数,它它等等于于这这两两个个向向量量的的长长度度与与它它们们夹夹角角=(,)余余弦弦的的乘乘积积,记为记为 ,即有即有41/17/20234(1)向量的向量的内积内积又称为又称为点积点积或或数量积数量积(3)(2)(4)(5)注:注:向量内积不满足结合律向量内积不满足结合律具有以下性质:具有以下性质:51/17/20235例:例:用用向量证明余弦定理向量证明余弦定理ACB证明:证明:61/17/20236例:例:证明:直径所对应的圆周角为直角证明:直径所对应的圆周角为直角.ABCO证明:证明:因此因此所以所以71/17/20237例:例:证明:证明:8
4、1/17/20238内积的坐标表示内积的坐标表示对任意向量对任意向量(1)证:证:91/17/20239(2)(3)101/17/202310向量的外积向量的外积 上上一一节节讨讨论论了了向向量量的的一一种种乘乘法法:两两个个向向量量的的内内积积,其其运运算算结结果果是是一一个个数数。为为了了反反映映另另一一物物理理现现象象,本本节节引引入入了了两两个个向向量量的的另另一一种种乘乘法法,叫做叫做外积外积,它的,它的运算结果是一个向量运算结果是一个向量。111/17/202311定义定义 两个向量两个向量与与的的外积外积是一个向量是一个向量1.外积及其运算规律外积及其运算规律的的方方向向与与,均
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