2019八年级数学上册 专题突破讲练 巧用分式方程的增根解决问题试题 (新版)青岛版.doc
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1、1巧用分式方程的增根解决问题巧用分式方程的增根解决问题一、解分式方程的步骤:一、解分式方程的步骤:二、分式方程增根的概念:二、分式方程增根的概念:在分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使最简公分母为 0,那么这个根叫做原分式方程的增根。三、产生增根的原因:三、产生增根的原因:增根是在分式方程转化为整式方程去分母的过程中产生的。因为等号两边同乘以的最简公分母有可能是 0,因此就有可能产生满足整式方程,但是不满足分式方程的根。注意:注意:1. 解分式方程必须要验根;2. 验根时只需要把求出的x的值代入最简公分母中,看是否为 0。四、常见的题型:四、常见的题型:1. 求增根问题:方法是把分式
2、方程去分母后求得的根代入原方程的最简公分母,若为零是增根,若不为零是原方程的根。2. 根据增根求待定系数问题:步骤:去分母,化分式方程为整式方程;2将增根代入整式方程中,求出方程中字母系数的值。例题例题 1 1 若关于x的方程有增根,则a的值为_。ax x 1 110解析:解析:首先去分母化整式方程,然后把增根代入求出a,答案:答案:原方程可化为: 021xa又原方程的增根是,把代入,得:x 1x 1a 1故应填“” 。1点拨:点拨:本题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:让最简公分母为 0 确定增根;化分式方程为整式方程;把增根代入整式方程,即可求得相关字母的值。例题例题 2 2
3、 当a取何值时,解关于x的方程:无增根?x xx xxax xx 1 22 12 212解析:解析:首先去分母化整式方程,然后把增根代入求出a,最后从保证整式方程有实根的a的取值范围中把产生增根的a的值去掉。答案:答案:原方程可化为:0322 axx又原方程的增根为x=2 或,把x=2 或分别代入得:x 1x 1或a 5 2a 1又由知,a可以取任何实数。 a2240所以,当且时,解所给方程无增根。a 5 2a 1点拨:点拨:解答此类问题的基本思路是:(1)将已知方程化为整式方程;(2)由所得整式方程,求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围;(3)从有实数根的范围里排
4、除有增根的值,即得无增根的取值范围。例例题题 3 3 当k的值为_(填出一个值即可)时,方程只有一个实数根。x xkx xx 122解析:解析:先化成整式方程(即一元二次方程)分两种情况:(1)一元二次方程有两个相等实根。3(2)有两个不等实根,且有一个是增根。答案:答案:原方程可化为: 022kxx要原方程只有一个实数根,有下面两种情况:(1)当方程有两个相等的实数根,且不为原方程的增根,所以由得k=1。 440k当k=1 时,方程的根为,符合题意。xx121 (2)方程有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根,所以由, 440k得k1。又原方程的增根为x=0 或x=1,把x=0 或x
5、=1 分别代入得k=0,或k=3,均符合题意。综上所述:可填“1、0、3”中的任何一个即可。点拨:点拨:本题要分清方程的增根和方程无根的区别。分式方程无解是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等。它包含两种情形:(一)原方程化去分母后的整式方程无解;(二)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为 0,它是原方程的增根,从而原方程无解。例题例题 (1)当a为何值时,关于x的方程会产生增根?223 242ax xxx(2)当a为何值时,关于x的方程无解?223 242ax xxx解析:解析:(1)首先将分式方程转化为整式方程,然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根,最后将
6、增根代入转化得到的整式方程中,求出原方程中所含字母的值。(2)除了考虑第(1)种情况外,此时还要考虑转化后的整式方程(a1)x10 本身无解的情况。答案:答案:(1)方程两边都乘以(x+2) (x-2) ,得 2(x2)ax3(x2)整理得(a1)x10 若原分式方程有增根,则x2 或2 是方程的根,把x2 或2 代入方程中,解得,a4 或 6。(2)方程两边都乘以(x+2) (x-2) ,得 2(x2)ax3(x2)整理得(a1)x10 若原方程无解,则有两种情形:当a10(即a1)时,方程为 0x10,此方程无解,所以原方程无解。如果方程的解恰好是原分式方程的增根,那么原分式方程无解。此时
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