第四章复变函数与积分变换ppt课件.ppt
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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换4.1 复数项级数复数项级数一、复数列的极限一、复数列的极限二、复数项级数的概念二、复数项级数的概念.)(naxnlim=axnn,或或记为记为的的极限极限,恒成立恒成立,则称则称 Nn时,时,当当(无论有多小无论有多小),如果对于如果对于a是一个实数。是一个实数。是一个数列是一个数列,设设a为数列为数列此时称数列此时称数列收敛收敛;若数列极限不存在称数列是发散的若数列极限不存在称数列是发散的.回忆:实数数列的极限回忆:实数数列的极限nNNO,NO,有些点在条形域外面!有些点在条形域外面!数列极限的几何意义OK!OK!N N找到了!找到了!Ne 越来越小,N
2、越来越大!一、复数列的极限一、复数列的极限1.1.定义定义记作记作2.复数列收敛的条件复数列收敛的条件证证从而有从而有所以所以同理同理反之反之,如果如果从而有从而有该定理说明该定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.证毕证毕下列数列是否收敛下列数列是否收敛,如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.而而解解 例例1 1所以数列发散所以数列发散.课堂练习课堂练习:下列数列是否收敛下列数列是否收敛?如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.发散发散二、复数项级数的概念二、复数项级数的概念1.1.定义定义表达式表达式称为复数项无穷级数称为复
3、数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和设设为一个复数列为一个复数列.收敛与发散收敛与发散说明说明:与实数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:2.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证定理定理说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理定理)则则例例2 2 解解 所以原级所以原级数发散数发散.课堂练习课堂练习所以原级所以原级数收敛数收敛.(1)级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件重要结论重要结论:不满足必要条件不满足必要条件,
4、所以原级数发散所以原级数发散.启示启示:判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时,可先考察可先考察?级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.3.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛注:注:可用正项级数的审敛法可用正项级数的审敛法.定理定理证证由于由于而而根据实数项级数的比较准则根据实数项级数的比较准则,知知非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.说明说明如果如果 收敛收敛,那么称级数那么称级数 为为绝对收敛绝对收敛.定义定义所以所以综上综上:例例3 3故原级数收敛故原级数收敛,且为绝对收敛且为绝对收敛.因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判
5、别法知:解解故原级数收敛故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛.例例4 4解解4.2 复变函数项级数复变函数项级数一、幂级数的概念一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质一、幂级数的概念一、幂级数的概念1.1.复变函数项级数复变函数项级数定义定义其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义.表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,记作记作 称为这级数的称为这级数的部分和部分和.级数最前面级数最前面n项的和项的和和函数和函数称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在如果级数在D内处处收敛
6、内处处收敛,那么它的和一定那么它的和一定例例1 1 求级数求级数的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为级数级数收敛收敛,级数级数发散发散.收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域且有且有2.2.幂级数幂级数当当或或函数项级数的特殊情形函数项级数的特殊情形或或这种级数称为这种级数称为幂级数幂级数.为简便,以下讨论幂级数为简便,以下讨论幂级数 .二、幂级数的敛散性二、幂级数的敛散性1.收敛定理收敛定理(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)如果级数如果级数在在收敛收敛,那么对那么对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛,如果如果在在级数发散级数发散,那么对满足那么对满足的的级数必
7、发散级数必发散.满足满足阿贝尔介绍阿贝尔介绍2.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径(1)对所有的复数都收敛)对所有的复数都收敛.(2)对所有的复数,除对所有的复数,除 z=0 外都发散外都发散.例如,级数例如,级数通项不趋于零通项不趋于零,故级数发散故级数发散.对于一个幂级数对于一个幂级数 ,其收敛的情况有三种其收敛的情况有三种:.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.(3)既存在使级数收敛的复数)既存在使级数收敛的复数 ,也存在使级数也存在使级数发散的复数发散的复数 .由阿贝尔定理,由阿贝尔定理,则存在正数则存在正数R,答案答案:
8、幂级数幂级数的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一不能作出一般的结论般的结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意问题问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?3.收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法1 1:(比值法)(比值法)那么收敛半径那么收敛半径方法方法2 2:(根值法)(根值法)那么收敛半径那么收敛半径说明说明:如果如果收敛半径公式可记为收敛半径公式可记为幂级数幂级数例例2求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛
9、圆周上的情形)(2)(并讨论并讨论时的情形时的情形)或或解解(1)所以收敛半径所以收敛半径即原级数在圆即原级数在圆内收敛内收敛,在圆外发散在圆外发散,收敛的收敛的级数级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周在圆周上上,级数级数说明说明:在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有也有 级数的发散点级数的发散点.原级数成为原级数成为交错级数交错级数,收敛收敛.发散发散.原级数成为原级数成为调和级数,调和级数,解解(2)(并讨论并讨论时的情形时的情形)所以收敛半径为所以收敛半径为例例3求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解解解例例4 求
10、求 的收敛半径的收敛半径.答案答案课堂练习课堂练习 试求幂级数试求幂级数的收敛半径的收敛半径.因为因为所以所以故收敛半径故收敛半径三、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质1.1.幂级数的有理运算幂级数的有理运算2.幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算如果当如果当时时,又设在又设在内内解析且满足解析且满足那么当那么当时时,说明说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.定理定理设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为那么那么(2)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,是收敛圆是收敛圆内部的解析函数内部的解
11、析函数.(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质(3)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,简言之简言之:在收敛圆内在收敛圆内,幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导,逐项积分逐项积分.(常用于求和函数常用于求和函数)即即例例5 把函数把函数表成形如表成形如的幂的幂级数级数,其中其中是不相等的复常数是不相等的复常数.解解把函数把函数写成如下的形式写成如下的形式:代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现凑出凑出级数收敛级数收敛,且其和为且其和为作业:作业:第四章习题第四章习题 6(1)(3)(5)4.3 泰勒级数泰勒级数一、问题
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