公理化问题.ppt
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1、第三节第三节 “相容性、独立性和完全性相容性、独立性和完全性”的观点的观点1游游 戏戏 关于关于“公理化系统公理化系统”的话题,请每的话题,请每人人就自己的知识储备说一句话,但不可以就自己的知识储备说一句话,但不可以说前面的同学已经说过的话。说前面的同学已经说过的话。2一、相容性、独立性和完全性一、相容性、独立性和完全性 组织、综合、表述数学知识和理论的经典方法,是形式组织、综合、表述数学知识和理论的经典方法,是形式的的公理化方法公理化方法,即从一批公理、定义出发,通过逻辑推理,即从一批公理、定义出发,通过逻辑推理,得到一系列结论(称为命题、定理或推论)的方法。得到一系列结论(称为命题、定理或
2、推论)的方法。公元前公元前300年欧几里得几何年欧几里得几何原本原本:5条公理;条公理;5条公设;条公设;119个定义;个定义;465个命题个命题 1899年希尔伯特年希尔伯特几何基础几何基础:几何对象的深刻抽象;公理系统的逻辑要求几何对象的深刻抽象;公理系统的逻辑要求 形式的公理化方法在逻辑上的要求,是满足形式的公理化方法在逻辑上的要求,是满足相容性、相容性、独立性和完全性独立性和完全性。31.相容性:不允许从公理系统推出矛盾相容性:不允许从公理系统推出矛盾2.独立性:每一个公理不可由其它公理独立性:每一个公理不可由其它公理 推出推出3.完全性:该形式系统中所有命题都能完全性:该形式系统中所
3、有命题都能 判定真伪判定真伪4 【含有含有“不可判定命题不可判定命题”的系统是不完全的系统是不完全的。的。所谓不可判定命题,是指该命题和其反所谓不可判定命题,是指该命题和其反命题都不能由该系统中的公理推导出来。命题都不能由该系统中的公理推导出来。(A与非与非A都能导出都能导出叫叫“不相容不相容”,A与非与非A都不能导出都不能导出叫叫“不完全不完全”)】5二、哥德尔的不完全性定理二、哥德尔的不完全性定理 1.关于关于 数学证明数学证明 与与 科学证明科学证明 的再认识的再认识 公理逻辑推理公理逻辑推理 假说观察、实验假说观察、实验 (主观符合客观)(主观符合客观)不能推翻不能推翻 可能推翻可能推
4、翻6 数学证明是依靠逻辑推理导出结论,定理一经数学证明是依靠逻辑推理导出结论,定理一经证明证明就永远是对的,就永远是对的,除非发现证明本身有误。除非发现证明本身有误。而其它学科的证明,往往是在某些依据下提出一种而其它学科的证明,往往是在某些依据下提出一种假说假说,当观察和,当观察和实验与该假说相符,就成为假说成立的证据。如果该假说不仅能描述已实验与该假说相符,就成为假说成立的证据。如果该假说不仅能描述已知的现象,而且能预见未知的事实,就成为假设成立的更强的证据。证知的现象,而且能预见未知的事实,就成为假设成立的更强的证据。证据积累到一定的数量,假设就改称为理论而被人们接受。据积累到一定的数量,
5、假设就改称为理论而被人们接受。观察和实验是可能出错的,或者可能是不精确的,从而只能提供近观察和实验是可能出错的,或者可能是不精确的,从而只能提供近似的证据,导出似的证据,导出相对相对正确的理论。所以其它学科的理论,可能在后来会正确的理论。所以其它学科的理论,可能在后来会被证明是错的,从而导致科学上的革命,以至用新理论去代替旧理论。被证明是错的,从而导致科学上的革命,以至用新理论去代替旧理论。数学证明却与此不同,数学证明不是依赖于观察和实验,而是依赖于逻数学证明却与此不同,数学证明不是依赖于观察和实验,而是依赖于逻辑,所以,数学证明具有辑,所以,数学证明具有“绝对绝对的意义的意义”。7 这些,是
6、我们过去的认识。但是,形式的、公理化的、逻辑的推理这些,是我们过去的认识。但是,形式的、公理化的、逻辑的推理方法确实是无懈可击吗?数学真理一定是绝对真理吗?方法确实是无懈可击吗?数学真理一定是绝对真理吗?1931年,年仅年,年仅25岁的奥地利数学家和逻辑学家哥德尔(岁的奥地利数学家和逻辑学家哥德尔(Kurt.Godel 1906年年1978年)在年)在数学物理期刊数学物理期刊上发表了一篇题为上发表了一篇题为“论论数学原理数学原理和有关系统中的形式不可判定命题和有关系统中的形式不可判定命题”的论文。他当时的论文。他当时在维也纳大学。论文刚发表时并未受到重视,但仅过了几年,就被数在维也纳大学。论文
7、刚发表时并未受到重视,但仅过了几年,就被数学界认为是数学和逻辑的基础方面的划时代文献。哥德尔的论文提出学界认为是数学和逻辑的基础方面的划时代文献。哥德尔的论文提出了了公理化方法的局限性公理化方法的局限性,这是人们始料不及的。哥德尔证明了两个重,这是人们始料不及的。哥德尔证明了两个重要的定理,即哥德尔第一定理和哥德尔第二定理。要的定理,即哥德尔第一定理和哥德尔第二定理。89 .哥德尔第一定理哥德尔第一定理:对于包含自然数对于包含自然数系的任何相容的形式体系,中都有不系的任何相容的形式体系,中都有不可判定命题,从而该体系是可判定命题,从而该体系是“不完全不完全”的。的。(这里,(这里,“包含自然数
8、系包含自然数系”不是特别的要求,一不是特别的要求,一般的形式体系都包含自然数系。)般的形式体系都包含自然数系。)10 哥德尔第一定理表明,相容的体系一哥德尔第一定理表明,相容的体系一定是不完全的,这太令人吃惊了!定是不完全的,这太令人吃惊了!例如哥德巴赫猜想,至今未被证明,也例如哥德巴赫猜想,至今未被证明,也未被推翻,它是不可判定的命题吗?那样我未被推翻,它是不可判定的命题吗?那样我们就永远也不能证明它了!们就永远也不能证明它了!11 .哥德尔第二定理哥德尔第二定理:对于包含自然数系的任何相对于包含自然数系的任何相容的形式体系,容的形式体系,“的相容性的相容性”是不可判定的。是不可判定的。只有
9、有穷个命题的体系,只有有穷个命题的体系,“体系的相容性体系的相容性”原则上是可原则上是可以判定的;但包含自然数系的形式体系中总有无穷个命题,以判定的;但包含自然数系的形式体系中总有无穷个命题,而哥德尔又证明了:对于包含自然数系的任何相容的形式体而哥德尔又证明了:对于包含自然数系的任何相容的形式体系,系,“的相容性的相容性”是不可判定的。是不可判定的。这就是说,公理化体系对逻辑的三条最基本的要求这就是说,公理化体系对逻辑的三条最基本的要求相容性、独立性、完全性,是无法同时满足的相容性、独立性、完全性,是无法同时满足的。公理化体系大厦的基础崩塌了!公理化体系大厦的基础崩塌了!12 .问题的核心仍是
10、问题的核心仍是“自我指谓自我指谓”在讲集合论的在讲集合论的“罗素悖论罗素悖论”时,我们提到过时,我们提到过“含有自含有自身的集合身的集合”这样的词句,说明过该悖论的要害是这样的词句,说明过该悖论的要害是“自我自我指谓指谓”,即命题中又说到命题本身。,即命题中又说到命题本身。还有还有“说谎者悖论说谎者悖论”的要害也是的要害也是“自我指谓自我指谓”(说(说谎者说:谎者说:“我这句话是谎话我这句话是谎话”,则,说,则,说“这句话是实话这句话是实话”将导致这句话是谎话,说将导致这句话是谎话,说“这句话是谎话这句话是谎话”又将导致又将导致这句话是实话,左右为难)(命题中有这句话是实话,左右为难)(命题中
11、有“这句话这句话”一词)。一词)。13 哥德尔第一定理说,相容的体系中存在不可判定的命哥德尔第一定理说,相容的体系中存在不可判定的命题。这就是,如果只从体系内去判断体系里的命题,这就题。这就是,如果只从体系内去判断体系里的命题,这就是是“自我指谓自我指谓”。古诗说。古诗说“不识庐山真面目,只缘身在此不识庐山真面目,只缘身在此山中山中”,也是这个道理。,也是这个道理。哥德尔第二定理说,公理体系的相容性不能在体系中哥德尔第二定理说,公理体系的相容性不能在体系中被证明。这就是,如果只想从体系中去证明体系本身的相被证明。这就是,如果只想从体系中去证明体系本身的相容性,这就是容性,这就是“自我指谓自我指
12、谓”。俗话说:。俗话说:“老王卖瓜,自卖老王卖瓜,自卖自夸自夸”。人们不能只听他自己的自夸,就判定他的瓜是好。人们不能只听他自己的自夸,就判定他的瓜是好的;也不能只从公理体系自己的逻辑推理,就推出体系自的;也不能只从公理体系自己的逻辑推理,就推出体系自己的相容性来。己的相容性来。14 当然,这里所说的当然,这里所说的“自我指谓自我指谓”,与罗素悖论,与罗素悖论的的“自我指谓自我指谓”还不完全一样,因为形式的公理化还不完全一样,因为形式的公理化方法本来就是自成系统的。所以这种方法本来就是自成系统的。所以这种“自我指谓自我指谓”的毛病,来自公理系统自身。的毛病,来自公理系统自身。这表明,公理化方法
13、确有局限性,公理化方法这表明,公理化方法确有局限性,公理化方法在逻辑方面的三大基本要求,本身是无法完全满足在逻辑方面的三大基本要求,本身是无法完全满足的。的。15 .哥德尔的重大贡献哥德尔的重大贡献 哥德尔的两条定理肯定是所有数学定理中哥德尔的两条定理肯定是所有数学定理中最具重要意义的定理之一。由此,人类对于宇最具重要意义的定理之一。由此,人类对于宇宙的认识和对于数学地位的认识,被迫作出了宙的认识和对于数学地位的认识,被迫作出了根本性的改变:数学不再是精确论证的顶峰,根本性的改变:数学不再是精确论证的顶峰,不再是绝对真理的化身,数学也有它自己的局不再是绝对真理的化身,数学也有它自己的局限性。限
14、性。16 具体地,哥德尔的贡献可以简要地从两方面来阐述:具体地,哥德尔的贡献可以简要地从两方面来阐述:)把)把“正确正确”与与“可证明可证明”区别开来区别开来 按照哥德尔的定理,任一个形式系统中都存在不可判定的命题。而按照哥德尔的定理,任一个形式系统中都存在不可判定的命题。而逻辑里的逻辑里的排中律排中律告诉我们:一个命题和它的否命题非必有一个是正告诉我们:一个命题和它的否命题非必有一个是正确的;现在又说:对于不可判定命题,和非在系统中都不可证明。确的;现在又说:对于不可判定命题,和非在系统中都不可证明。这就表明:这就表明:“正确正确”与与“可证明可证明”是两回事,而且是两回事,而且“正确正确”
15、弱于弱于“可证可证明明”“可证明可证明”一定一定“正确正确”,“正确正确”不一定不一定“可证明可证明”。这是极其深刻的:一方面把这是极其深刻的:一方面把逻辑真逻辑真与与“主观符合客观主观符合客观”之谓真,区之谓真,区别开来了;另一方面,又把别开来了;另一方面,又把逻辑真逻辑真与逻辑的与逻辑的可证明可证明区别开来了。区别开来了。17 )清醒地提出)清醒地提出“数学基础数学基础”的问题能的问题能否彻底解决否彻底解决”的问题的问题 从世纪起,数学家就在寻求从世纪起,数学家就在寻求“数学基础数学基础”,极限理论和实数,极限理论和实数理论的建立,康托的集合论,希尔伯特的公理化思想,使人们看到了解理论的建
16、立,康托的集合论,希尔伯特的公理化思想,使人们看到了解决这一问题的希望,以致年庞加莱在国际数学家大会上宣称决这一问题的希望,以致年庞加莱在国际数学家大会上宣称“完全的严格性已经达到了!完全的严格性已经达到了!”年的年的“罗素悖论罗素悖论”,曾对此给以,曾对此给以“当头棒喝当头棒喝”,引起了历史,引起了历史上的第三次数学危机;虽然危机后来由集合论的公理化而化解了。上的第三次数学危机;虽然危机后来由集合论的公理化而化解了。18 但哥德尔的两条定理出世以后,有谁敢说,数学已经但哥德尔的两条定理出世以后,有谁敢说,数学已经得到严格的基础了?相反,现在比较有共识的看法是,关于得到严格的基础了?相反,现在
17、比较有共识的看法是,关于“数学基础数学基础”的问题,很可能不会有一个最终的、为一切人的问题,很可能不会有一个最终的、为一切人所接受的解决。所接受的解决。实际上,在公理化集合论建立、实际上,在公理化集合论建立、“罗素悖论罗素悖论”被化解被化解以后,同一个庞加莱就打过比喻,说:现在以后,同一个庞加莱就打过比喻,说:现在“罗素悖论罗素悖论”这这样的样的“狼狼”是被圈在外面了,但圈内有没有隐藏的是被圈在外面了,但圈内有没有隐藏的“狼狼”,并不知道。并不知道。19三、对数学如何三、对数学如何“补救补救”.算术相容性的证明算术相容性的证明 “算术相容性算术相容性”,本来在希尔伯特的,本来在希尔伯特的“元数
18、学元数学”体系中是一个不体系中是一个不可判定命题,但是根岑(可判定命题,但是根岑(Gentzen,Gerhard,1909年年-1945年)在年)在年证明了它。年证明了它。根岑是扩大了希尔伯特的元数学中所允许采用的逻辑而应用了超根岑是扩大了希尔伯特的元数学中所允许采用的逻辑而应用了超限归纳法,从而完成了这一证明。限归纳法,从而完成了这一证明。哥德尔第一定理是说,在一个相容的形式系统内,有该系统无法哥德尔第一定理是说,在一个相容的形式系统内,有该系统无法证明也无法证否的命题。但根岑想到,在一个扩大的形式系统中该命题证明也无法证否的命题。但根岑想到,在一个扩大的形式系统中该命题是可能被证明或证否的
19、。这使我们找到了是可能被证明或证否的。这使我们找到了“补救补救”数学的途径。数学的途径。20 .扩大形式系统去扩大形式系统去“补救补救”上面上面“算术相容性算术相容性”被证明的例子,使我们了解了被证明的例子,使我们了解了公理化方法的局限性和补救的一种办法:对每一个具体的公理化方法的局限性和补救的一种办法:对每一个具体的公理化形式系统,总有不可判定的命题;但是,适当扩大公理化形式系统,总有不可判定的命题;但是,适当扩大这个形式系统,又可以证明或证否该命题。这个形式系统,又可以证明或证否该命题。21例例1)关于非欧几何)关于非欧几何 对欧几里得的对欧几里得的第五公设第五公设,在,在“去掉第五公设的
20、欧去掉第五公设的欧氏几何系统氏几何系统”内,用欧氏几何的其它公理公设,不能内,用欧氏几何的其它公理公设,不能证明、也不能证否。证明、也不能证否。“三角形三内角之和为三角形三内角之和为”这一命题,也是这一命题,也是 既不能证明又不能证否的命题。既不能证明又不能证否的命题。22 现在,把该形式系统扩大,现在,把该形式系统扩大,增加第五公设增加第五公设:过直线外:过直线外一点,能作且只能作一条直线与已知直线平行。这样就产一点,能作且只能作一条直线与已知直线平行。这样就产生了生了欧几里得几何欧几里得几何的系统。在这一系统内,的系统。在这一系统内,“三角形三内三角形三内角之和为角之和为”的命题,就可以得
21、到证明。的命题,就可以得到证明。23 如用另一种方式把该系统扩大:不是增加第五公设,如用另一种方式把该系统扩大:不是增加第五公设,而是而是增加增加下边的公理(称为下边的公理(称为罗巴契夫斯基公理罗巴契夫斯基公理):过直线):过直线外一点,至少能作两条直线与已知直线平行(从而可作无外一点,至少能作两条直线与已知直线平行(从而可作无穷条直线与已知直线平行)。穷条直线与已知直线平行)。这样就产生了非欧几里得几何的系统(叫这样就产生了非欧几里得几何的系统(叫罗氏几何罗氏几何,也叫双曲几何)。在这一系统内,也叫双曲几何)。在这一系统内,“三角形三内角之和为三角形三内角之和为”的命题,就可以被证否。而的命
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