高数 (5).ppt
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1、第四节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用 第九章 11.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量 3.解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域空间有界域 的立体
2、的体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 3所围成的立体的体积所围成的立体的体积.解一解一(用极坐标)(用极坐标)解二解二 是柱形区域,用柱坐标是柱形区域,用柱坐标例例4任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V.解解:曲面的切平面方程为它与曲面的交线在 xoy 面上的投影为(记所围域为D)在点例例1.求曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 5例例2.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 6二、曲面的面积二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累
3、而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则机动 目录 上页 下页 返回 结束 7故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动 目录 上页 下页 返回 结束 8若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且机动 目录 上页 下页 返回 结束 9例例3.计算双曲抛物面被柱面所截解解:曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A.机动 目录 上页 下页 返回 结束 10例例4.计算半径为 a 的球的表面积.解解:设球面方程为 球面面积元素为方法方法2 利用直角坐标方程.(见书 P227.例4)方法方法1 利用球坐标方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 11求半径为求半径为R的球面的表面积的球
4、面的表面积.解解曲面方程为曲面方程为(由对称性)(由对称性)例例412三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 13将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 14同理可得则得形心坐标:机动 目录 上页 下页 返回 结束 15若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄
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