(精品)1第一章 数学物理方程的解法.ppt
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1、2023/1/291数学物理方法概论数学物理方法概论主讲教师:白璐主讲教师:白璐联系电话:联系电话:1529145699615291456996Email:bluxidian.edu.cEmail: nhttp:/ 课程特点:课程特点:数学物理方法是物理学类、电子信息科数学物理方法是物理学类、电子信息科学类和通信科学类的重要公共基础课和工具。学类和通信科学类的重要公共基础课和工具。主要特色在于数学和物理的紧密结合,主要特色在于数学和物理的紧密结合,将数学用于实际的物理和交叉科学的实际问将数学用于实际的物理和交叉科学的实际问题的分析中,通过物理过程建立数学模型,题的分析中,通过物理过程建立数学模
2、型,通过求解和分析模型,对具体物理过程的深通过求解和分析模型,对具体物理过程的深入理解。提高分析解决实际问题的能力。入理解。提高分析解决实际问题的能力。2023/1/293 课程内容:课程内容:第一章:微分几何(第一章:微分几何(4)第二章:线性空间(第二章:线性空间(4)第三章:渐近方法(第三章:渐近方法(5)第四章:格林函数法(第四章:格林函数法(5)第五章:积分方程的解法(第五章:积分方程的解法(5)2023/1/294 课程学习目标:课程学习目标:1、掌握微分几何、线性空间的相关定义和本征函数、掌握微分几何、线性空间的相关定义和本征函数集的应用;集的应用;2、掌握数学物理方程常规解法的
3、技巧,以及特殊函、掌握数学物理方程常规解法的技巧,以及特殊函数的应用;数的应用;3、掌握格林函数在数学物理方法求解中的应用,掌、掌握格林函数在数学物理方法求解中的应用,掌握积分方程的数值求解方法,学习数值渐近方法。握积分方程的数值求解方法,学习数值渐近方法。4、学习和提高编程分析实际问题的能力。、学习和提高编程分析实际问题的能力。2023/1/295 学习要求:学习要求:按时到课,完成作业,及时复习。按时到课,完成作业,及时复习。按时到课,完成作业,及时复习。按时到课,完成作业,及时复习。考核方法:考核方法:考核方法:考核方法:30%30%平时平时平时平时+70%70%期末(闭卷)期末(闭卷)
4、期末(闭卷)期末(闭卷)推荐用书:推荐用书:推荐用书:推荐用书:数学物理方法王一平主编,电子工业出版社数学物理方法王一平主编,电子工业出版社数学物理方法王一平主编,电子工业出版社数学物理方法王一平主编,电子工业出版社微分几何的理论和习题微分几何的理论和习题微分几何的理论和习题微分几何的理论和习题利普舒茨著,上海科学利普舒茨著,上海科学利普舒茨著,上海科学利普舒茨著,上海科学技术出版社技术出版社技术出版社技术出版社微分几何微分几何微分几何微分几何梅向明梅向明梅向明梅向明 黄敬之黄敬之黄敬之黄敬之 编,高等教育出版社编,高等教育出版社编,高等教育出版社编,高等教育出版社物理学中的数学方法物理学中的
5、数学方法物理学中的数学方法物理学中的数学方法拜伦著,拜伦著,拜伦著,拜伦著,19821982年,科学出年,科学出年,科学出年,科学出版社版社版社版社2023/1/296第一章第一章 微分几何微分几何 微分几何的产生和发展是与微分几何的产生和发展是与数学分析数学分析密切相连的,密切相连的,在这方面做出突出贡献的有瑞士数学家欧拉,法国的在这方面做出突出贡献的有瑞士数学家欧拉,法国的蒙日,德国的高斯、克莱因等。蒙日,德国的高斯、克莱因等。在在波的辐射、传播、散射、反射波的辐射、传播、散射、反射等应用领域常等应用领域常遇到对物体几何形状的分析,而微分几何所阐明遇到对物体几何形状的分析,而微分几何所阐明
6、的概念和方法,在这一方面成为有力的工具。的概念和方法,在这一方面成为有力的工具。经近经近300年的发展,已逐渐成为数学上独具年的发展,已逐渐成为数学上独具特色,应用广泛的学科。特色,应用广泛的学科。2023/1/297第一章第一章 微分几何微分几何 微分几何是采用微分几何是采用微积分微积分的方法研究的方法研究几何几何图形图形 的学科。本章重点讨论曲面理论的基本原理。的学科。本章重点讨论曲面理论的基本原理。微分几何中,由于运用数学分析的理论,就可微分几何中,由于运用数学分析的理论,就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小,一些复杂以在无限小的范围内略去高阶无穷小,一些复杂的依赖关系可以变成线性的,不
7、均匀的过程也可的依赖关系可以变成线性的,不均匀的过程也可以变成均匀的,这些都是以变成均匀的,这些都是微分几何特有的研究方微分几何特有的研究方法法。学习本章的重点是掌握微分几何基本概念理解学习本章的重点是掌握微分几何基本概念理解空间曲面的定义、定理及重要几何量的计算方法。空间曲面的定义、定理及重要几何量的计算方法。2023/1/29第一章第一章 微分几何微分几何 微分几何涉及用微积分方法了解空间形状及其性质。微分几何涉及用微积分方法了解空间形状及其性质。微分几何解决问题的微分几何解决问题的一般思路一般思路是:是:参数方程定参数方程定义几何体义几何体求导求导 从微积分导出能说从微积分导出能说明几何
8、学某些性质明几何学某些性质的几何量的几何量给定某些微给定某些微分量分量求解求解 确定几何体确定几何体几何量几何量满足的条件(微分方程)满足的条件(微分方程)微分方程的解集即几何体微分方程的解集即几何体82023/1/299第一章第一章 微分几何微分几何 1、三维空间中的曲线;、三维空间中的曲线;2、三维空间中的曲面;、三维空间中的曲面;3、曲面的第一、二基本形式;、曲面的第一、二基本形式;4、曲面的曲率;、曲面的曲率;5、测地线;、测地线;6、张量简述。、张量简述。2023/1/2910:推荐用书:推荐用书:推荐用书:推荐用书:数学物理方法王一平主编,电子工业出版社数学物理方法王一平主编,电子
9、工业出版社数学物理方法王一平主编,电子工业出版社数学物理方法王一平主编,电子工业出版社微分几何的理论和习题微分几何的理论和习题微分几何的理论和习题微分几何的理论和习题利普舒茨著,上海科学利普舒茨著,上海科学利普舒茨著,上海科学利普舒茨著,上海科学技术出版社技术出版社技术出版社技术出版社微分几何讲义微分几何讲义微分几何讲义微分几何讲义陈省身陈省身陈省身陈省身 陈维恒陈维恒陈维恒陈维恒著,著,著,著,北京大北京大北京大北京大学出学出学出学出版社版社版社版社微分几何微分几何微分几何微分几何梅向明梅向明梅向明梅向明 黄敬之编,高等教育出版社黄敬之编,高等教育出版社黄敬之编,高等教育出版社黄敬之编,高等
10、教育出版社第一章第一章 微分几何微分几何 2023/1/2911 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 在在 E3 中中Descartes直角坐标系直角坐标系 O-xyz 下下运动质点的位置为运动质点的位置为其中其中 为单位正交基向量为单位正交基向量空间曲线定义空间曲线定义:区间区间(a,b)上点上点t 在映射:在映射:t (x(t),y(t),z(t)下像的集合下像的集合曲线曲线C的表示:的表示:1.1.1 曲线的表示曲线的表示 式中式中t 称为称为 C 的的参数参数 C 可用向量形式的参数方程表示为可用向量形式的参数方程表示为或写为分量形式的参数方程或写为分量形式的参数方程 一、曲线的
11、表示一、曲线的表示 2023/1/2912 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 假定所研究的曲线假定所研究的曲线 至少是至少是t 的一阶连续可微函数。的一阶连续可微函数。1.1.1 曲线的表示曲线的表示 二、正则二、正则 定义定义 :如果给定参数曲线如果给定参数曲线 C:,t(a,b)若若 ,则称,则称 t t0 的对应点的对应点 为为 C 的一个的一个正则点正则点若若 ,则称,则称 t t0 的对应点的对应点 为为 C 的一个的一个奇点奇点;若曲线上所有点正则,则称若曲线上所有点正则,则称 C 为为正则曲线正则曲线,并称参数,并称参数 t 为为正则正则参数参数几何意义:几何意义:视参数
12、曲线为动点轨迹,正则点的几何意义则是当参数在该点视参数曲线为动点轨迹,正则点的几何意义则是当参数在该点处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动2023/1/2913 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示曲线的表示 例例1若若参参数数曲曲线线 C:,t R,则则其其几几何何图图形形仅仅仅仅表表示示一一点点,而而不不是是正正常常的的曲曲线线,此此时时所所有有的的参参数数值值对对应应于于图图形形实实体体的的同同一一点点这这是是非非正正则则曲曲线线的的极极端端例例子子例例2半半径径为为a,螺螺距距为为2v的的圆圆柱柱螺螺线线,如如视视
13、为为动动点点的的轨轨迹,表示为迹,表示为 (t)(a cos(w w t),a sin(w w t),v t),t R,其其中中三三个个常常数数 a 0,w w 0 和和 v 0 分分别别为为动动点点运运动动的的圆圆周半径、角速率和向上速率此时周半径、角速率和向上速率此时(t)(aw w sin(w wt),aw w cos(w wt),v)0,说明该参数化使之成为正则曲线。说明该参数化使之成为正则曲线。或者称该曲线是或者称该曲线是(,)上的正则曲线)上的正则曲线。2023/1/2914 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示曲线的表示 例例3半立方抛物线光滑曲线半立
14、方抛物线光滑曲线(t)(t3,t2,0),t R,则则 (t)(3t2,2t,0),故此时其奇点有且仅有一个:故此时其奇点有且仅有一个:r(0)该曲线是该曲线是(,0,0)和)和(0 0,)上的正则曲线。)上的正则曲线。同一条曲线可有不同的参数表示。如果曲线同一条曲线可有不同的参数表示。如果曲线C为为 (t),用,用tt(t1)引入新参量引入新参量t1,则则 (t)(t(t1)1(t1),为保障,为保障t,t1一一对应且一一对应且为使为使t,t1增加的方向均相应于曲线正向,要求增加的方向均相应于曲线正向,要求 三、同一曲线的不同参数表示三、同一曲线的不同参数表示 曲线曲线C上一点如取参数上一点
15、如取参数t 时为正则点,则在取时为正则点,则在取t1表示时也为正则点表示时也为正则点2023/1/2915 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示曲线的表示 可以选取弧长作为曲线的参数并能够方便地确定曲线的可以选取弧长作为曲线的参数并能够方便地确定曲线的切线切线是曲线切矢量的长度。是曲线切矢量的长度。注意:注意:弧长是代数量;弧长是代数量;弧长只依赖于曲线上所选取的始末点,而与参数的选择无关;弧长只依赖于曲线上所选取的始末点,而与参数的选择无关;对正则曲线可选取弧长对正则曲线可选取弧长s作为表示曲线的新参数,这时切矢量作为表示曲线的新参数,这时切矢量 为一单位矢量。为
16、一单位矢量。四、正则曲线的意义四、正则曲线的意义 设曲线设曲线 C:(t),t(a,b)正则,则曲线从参数正则,则曲线从参数t0到到t处的弧长处的弧长为为其中其中2023/1/2916 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示曲线的表示 选取弧长作为参数的曲线称为选取弧长作为参数的曲线称为单位速率曲线单位速率曲线。单位速率曲线的意义单位速率曲线的意义 类比:类比:空间曲线空间曲线质点在空间的运动轨迹质点在空间的运动轨迹参数参数t 时间时间 质点的运动速度质点的运动速度 质点经历的路程质点经历的路程选取弧长作为曲线的参数的好处是曲线上每一点的切向量都选取弧长作为曲线的参数
17、的好处是曲线上每一点的切向量都是单位向量。是单位向量。2023/1/2917 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示曲线的表示 t 为正则参数为正则参数,且有,且有 ds=|r(t)|dt=a2w2+v2 dt s(t)-s(t0)=tt0|r(u)|du=tt0 a2w2+v2du=a2w2+v2(t-t0)点点(a,0,0)对应于参数对应于参数t0,故从点,故从点(a,0,0)计起的弧长参数计起的弧长参数 s(t)s(0)=t sqrt(a2w w2 2+v2)故一个螺纹对应于参数故一个螺纹对应于参数t取值区间为取值区间为t0,t0+|2/|的长度为的长度为 s(
18、2/)s(0)=|2/|sqrt(a2w2+v2)例例4圆柱螺线参数化为圆柱螺线参数化为 (t)(a cos(w wt),a sin(w wt),vt),t R,其中三个常数,其中三个常数 a 0,w w 0 和和 v 0 试求其从点试求其从点(a,0,0)计起的弧长参数,并确定其一个螺纹的长度计起的弧长参数,并确定其一个螺纹的长度解解:因因2023/1/2918 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 一、曲线的曲率一、曲线的曲率 考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率定义:定义:曲率曲率曲率和曲率
19、矢量的定义不依赖于正则参数的选取曲率和曲率矢量的定义不依赖于正则参数的选取曲率的意义曲率的意义表征了曲线的切向量相对于弧长的转动速度。表征了曲线的切向量相对于弧长的转动速度。其值的大小代表了其值的大小代表了曲线的弯曲程度曲线的弯曲程度。2023/1/2919 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 定义定义曲率半径;曲率矢量曲率半径;曲率矢量其中,其中,是与是与 正交的单位矢。且指向曲线的凹向。正交的单位矢。且指向曲线的凹向。曲率曲率曲率半径曲率半径曲率矢量曲率矢量2023/1/2920 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.
20、2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 一、曲线的曲率一、曲线的曲率 密切面方程密切面方程 如果密切面上的点用如果密切面上的点用 定义定义密切平面密切平面曲线曲线 (s)在在s点的点的 所构成的平面所构成的平面 表示,则表示,则 位于密切面内,即位于密切面内,即 命命 为曲线在为曲线在s处的从法向单位矢,它是密切面的法线。处的从法向单位矢,它是密切面的法线。2023/1/2921 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 从切面从切面 曲线曲线 (s)在在s点的点的 描述曲线密切面方向变化引入描述曲线密切面方向变化引入挠挠率率 密切面
21、密切面 所构成的平面所构成的平面 法平面法平面 二、曲线的挠率二、曲线的挠率 由上式所确定的函数由上式所确定的函数 称为曲线在称为曲线在s点的点的挠挠率率 挠挠率的绝对值表示了曲线的密切面(或从法矢量)随率的绝对值表示了曲线的密切面(或从法矢量)随s的旋转速率的旋转速率 2023/1/2922 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 1)当曲线以弧长为参数表示时,即)当曲线以弧长为参数表示时,即 三、曲线的曲率挠率的计算公式三、曲线的曲率挠率的计算公式 曲曲率率挠挠率率2)当曲线以一般参数)当曲线以一般参数 t 表示表示 曲曲率率挠挠率率
22、2023/1/2923 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 例例5 对曲率非零的曲线对曲率非零的曲线 C 而言,而言,C 为平面曲线的充要条件为平面曲线的充要条件是其挠率函数恒等于零是其挠率函数恒等于零证明:只要证明证明:只要证明“从法向量恒等于常向量从法向量恒等于常向量”等价于等价于“挠率挠率函数恒等于零函数恒等于零”,而这由而这由 (s),即可得证,即可得证 如果曲线的挠率恒为零,则如果曲线的挠率恒为零,则 (s)常矢量。于是常矢量。于是 由此得由此得设设s0是曲线上任一点,则由上式得是曲线上任一点,则由上式得可见可见 (s)位于
23、通过位于通过s0,法线为,法线为 的平面上,即其是一平面曲线。的平面上,即其是一平面曲线。还可类似证明曲率恒为零的曲线为直线。还可类似证明曲率恒为零的曲线为直线。2023/1/2924 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 物理意义物理意义:挠率是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的几何量,挠率是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的几何量,因而又可称之为曲线的因而又可称之为曲线的第二曲率第二曲率;由于挠率体现了密切平面的扭转状况,通常说它表由于挠率体现了密切平面的扭转状况,通常说它表示了曲线的示了曲线的扭曲程度扭曲程度当挠率非零时,称其倒数为当挠率
24、非零时,称其倒数为挠率半径挠率半径2023/1/2925 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 曲率、曲率、挠挠率的意义率的意义:沿曲线的变化告诉我们曲线自身在空间中是如何旋转弯曲的沿曲线的变化告诉我们曲线自身在空间中是如何旋转弯曲的的变化又由微分的变化又由微分 决定。决定。由由 的定义的定义所以曲率描述了所以曲率描述了 方向的变化。方向的变化。因为因为 是三维空间是三维空间R3中三个相互垂直的单位向量。故中三个相互垂直的单位向量。故R3中中任一向量都是它们的线性组合,如果任一向量都是它们的线性组合,如果 ,如能确定,如能确定a,b,c
25、 则也就确定了则也就确定了2023/1/2926 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量空间曲线的重要几何量 同理同理的表达式中仅剩一个非零系数,既然不能用已知量刻画它,的表达式中仅剩一个非零系数,既然不能用已知量刻画它,就把它定义为就把它定义为挠挠率。率。因为因为所以所以由由为零为零因为因为所以所以定义定义为曲线的挠率,则为曲线的挠率,则2023/1/2927 1.1 三维空间中的曲线三维空间中的曲线 1.1.3 曲线在一点邻近的性质曲线在一点邻近的性质 一、一、Frenet标架标架在曲线上与自身几何属性密切相关的标架场在曲线上与自身几何属性密切相关的标架
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- 精品 第一章 160 数学 物理 方程 解法
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