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1、第七章第七章 非线性系统理论非线性系统理论7.1 7.1 非线性系统问题概述非线性系统问题概述7.2 7.2 常见非线性因素对系统影响常见非线性因素对系统影响7.3 7.3 描描 述述 函函 数数7.4 7.4 描述函数分析法描述函数分析法End End 本章作业本章作业7.1 7.1 非线性系统问题概述非线性系统问题概述何何谓谓非非线线性性系系统统:只只要要系系统统中中包包含含一一个个或或一一个个以以上上具具有有非非线线性性静特性的元件,即称为非线性系统。静特性的元件,即称为非线性系统。系系统统的的稳稳定定性性除除与与结结构构参参数数有有关外,还与起始偏差的大小有关关外,还与起始偏差的大小有
2、关。统统的的响响应应形形式式与与输输入入信信号号的的大大小和初始条件有关。小和初始条件有关。在在没没有有外外界界周周期期变变化化信信号号输输入入时时,非非线线性性系系统统完完全全可可能能产产生生具具有有固定周期和幅值的稳定振荡过程。固定周期和幅值的稳定振荡过程。非线性系统的非线性系统的主要特征主要特征:7.27.37.47.2 7.2 常见非线性因素对系统的影响常见非线性因素对系统的影响摩擦特性摩擦特性不灵敏区不灵敏区(死区特性)(死区特性)饱和特性饱和特性间隙特性间隙特性继电特性继电特性7.17.37.41 引言第七章 非线性控制系统分析非线性:指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。非线性
3、系统:如果一个控制系统,包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节,则称这类系统为非线性系统,其特性不能用线性微分方程来描述。一控制系统中的典型非线性特性下面介绍的这些特性中,一些是组成控制系统的元件所固有的,如饱和特性,死区特性和滞环特性等,这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的;另一些特性则是为了改善系统的性能而人为加入的,如继电器特性,变增益特性,在控制系统中加入这类特性,一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性。非线性系统分析饱和特性(2)死区特性危害:使系统输出信号在相位上产生滞后,从而降低系统的相对稳定性,使系统产生自持振荡。(4)继电器特性功能:改善系统性能的切换元
4、件(4)继电器特性特点:使系统在大误差信号时具有较大的增益,从而使系统响应迅速;而在小误差信号时具有较小的增益,从而提高系统的相对稳定性。同时抑制高频低振幅噪声,提高系统响应控制信号的准确度。本质非线性:不能应用小偏差线性化概念将其线性化非本质非线性:可以进行小偏差线性化的非线性特二非线性控制系统的特性(1)对于线性系统,描述其运动状态的数学模型量线性微分方程,它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统,其数学模型为非线性微分方程,不能使用叠加原理。由于两种系统特性上的这种差别,所以它的运动规律是很不相同的。目前,还没有像求解线性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对非线性系统,一
5、般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在系统是否稳定,系统是否产生自持振荡,计算自持振荡的振幅和频率,消除自持振荡等有关稳定性的分析上。(2)在线性系统中,系统的稳定性只与其结构和参数有关,而与初始条件无关。对于线性定常系统,稳定性仅取决于特征根在s平面的分布。但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关外,还和初始条件有关。在不同的初始条件下,运动的最终状态可能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的,而当初始值处于较大区域内时则变为不稳定。反之,也可能初始值大时系统稳定,而初始值小时系统不稳定。甚至还会出现更为复杂的情况。(3)在非线性系统中,除了从平衡状态发
6、散或收敛于平衡状态两种运动形式外,往往即使无外作用存在,系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡。自持振荡:无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为自持振荡,简称自振荡。改变非系统的结构和参数,可以改变自持振荡的振幅和频率,或消除自持振荡。对线性系统,围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式,其中不可能产生稳定的自持振荡。(4)在线性系统中,输入为正弦函数时,其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数,输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同,因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。三非线性系统的研究方法现在尚无一
7、般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。对非本质非线性系统基于小偏差线性化概念来处理对本质非线性系统二阶系统:相平面法高阶系统:描述函数法2.相平面法相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。一基本概念二线性系统的相轨迹奇点:相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点。(6)三.相轨迹的绘制b.直接积分法(2)图解法a.等倾线法等倾线:在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线四.由相轨迹求时间解五非线性系统的相平面分析1基本概念实奇点:奇点位于对应的线性工作区域内虚奇点:奇点位于对应的线性工作区域外极限环:极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹,所有极限环附近的相轨迹都将卷
8、向极限环,或从极限环卷出。极限环内部(或外部)的相轨迹,总是不可能穿过极限环而进入它的外部(或内部)。(1)稳定极限环 在极限环附近,起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛与该极限环。这时,系统表现为等幅持续振荡。(2)不稳定极限环 在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去。在这种情况下,如果相轨迹起始于极限环内,则该相轨迹收敛于极限环内的奇点,如果相轨迹起始于极限环外,则该相轨迹发散至无穷远。(3)半稳定极限环 如果起始于极限环外部的相轨迹,从极限环发散出去,而起始于极限环内部各点的相轨迹,收敛于极限环;或者相反,起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环,而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点
9、。一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述。在相平面的不同区域内,代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的,因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹,仅在不同区域的边界上相轨迹要发生转换。区域的边界线称为开关线或转换线。因此,一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨迹,我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工作。用相平面法分析非线性系统的一般步骤:(1)将非线性特性用分段的直线特性来表示,写出相应线段的数学表达式。(2)首先在相平面上选择合适的坐标,一般常用误差及其导数分别为横纵坐标。然后将相平面根据非线性特性分成若干区域,使非线性特性在每个区域内都呈线性特性。(3)确定每个区域的奇点类
10、别和在相平面上的位置。(4)在各个区域内分别画出各自的相轨迹。(5)将相邻区域的相轨迹,根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来,便得到整个非线性系统的相轨迹。(6)基于该相轨迹,全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性例2.非线性系统方框图如图所示,试取其系统在输入信号例33.描述函数法一本质非线性特性的谐波线性化1谐波线性化:具有本质非线性的非线性元件在正弦输入作用下,在其非正弦周期函数的输出响应中,假设只有基波分量有意义,从而将本质非线性特性在这种假设下视为线性特性的一种近似。3应用描述函数法分析非线性系统的前提a.非线性特性具有奇对称性b.非线性系统具有图a所
11、时的典型结构c.非线性部分输出x(t)中的基波分量最强d.非线性部分G(s)的低通滤波效应较好b.非线性特性的描述函数的求取方法二典型非线性特性的描述函数(1)饱和特性的描述函数(2)死区特性描述函数(3)间隙特性的描述函数(4)继电特性描述函数(5)变增益特性的描述函数(6)典型非线性环节串联时的描述函数例1求取非线性环节的等效形式例2 7.3 7.3 描述函数描述函数 输入输出特性奇对称,即输入输出特性奇对称,即 y(x)=-y(-x),A0=0。系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。结构图可简化为一个非线性环节和一个线性部分的串联。结构图可简化为一个
12、非线性环节和一个线性部分的串联。N(X)G(j)描述函数的定义描述函数的定义典型环节描述函数典型环节描述函数 死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性应用限制条件应用限制条件7.17.47.2v 死区特性描述函数死区特性描述函数v 饱和特性描述函数饱和特性描述函数v 间隙特性描述函数间隙特性描述函数v 继电特性描述函数继电特性描述函数三.非线性控制系统的描述函数分析(1)控制系统的稳定性分析(2)典型非线性特性对系统的稳定性的影响例1 设含理想继电器特性的系统方框图如图所式。试确定其自持振荡的振幅和角频率。典型结构典型结构7.4 7.4 描述函数分析法描述函
13、数分析法 N(X)G(j)稳定性分析稳定性分析闭环特征方程为:闭环特征方程为:1+N(X)G(j)=0 N(X)G(j)=-1,等幅振荡。等幅振荡。G(j)包围包围-1/N(X),系统不系统不稳定,否则稳定。稳定,否则稳定。-1/N(X)被称为负倒描述函数被称为负倒描述函数。7.17.37.2q 自振分析自振分析 若当振幅若当振幅X增大时,增大时,-1/N(X)曲线由曲线由G(j)包围的区域(不包围的区域(不稳定区)穿出,该交点处存在着稳定的周期运动,该交点是自稳定区)穿出,该交点处存在着稳定的周期运动,该交点是自振点。振点。若曲线若曲线G(j)和曲线和曲线-1/N(X)相交,则系统存在周期运动;相交,则系统存在周期运动;:用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自:用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自振?若存在,求振荡频率和振幅。振?若存在,求振荡频率和振幅。例例7.1-1/N(X)G(j)因此,系统存在频率为因此,系统存在频率为 ,振幅为,振幅为2.122的自振荡。的自振荡。解:解:1-1-用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自振用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自振?若存在,求振荡频率和振幅。?若存在,求振荡频率和振幅。例例7.2解:解:q 非线性系统结构图简化非线性系统结构图简化
限制150内