数系的扩充(精品).ppt
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1、复数的概念-数系的扩充3.1 数系的扩充vv从社会生活来看为了满足生活和生产实从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要,数的概念在不断地发展践的需要,数的概念在不断地发展.vv从数学内部来看,数集是在按某种从数学内部来看,数集是在按某种“规规则则”不断扩充的不断扩充的.自然数v自然数是“数”出来的,其历史最早可以追溯到五万年前.负数负数负数负数是是“欠欠”出来出来的的.它是由于借贷关它是由于借贷关系中量的不同意义系中量的不同意义而产生的而产生的.我国三国我国三国时期数学家刘徽时期数学家刘徽(公元(公元250年前后)年前后)首先给出了负数的首先给出了负数的定义、记法和加减定义、记法和加减运算法
2、则运算法则.刘徽(公元刘徽(公元刘徽(公元刘徽(公元250250年前后)年前后)年前后)年前后)数集扩充到整数集分数(有理数)v分数(有理数)是“分”出来的.早在古希腊时期,人类已经对有理数有了非常清楚的认识,而且他们认为有理数就是所有的数.数集扩充到有理数集数集扩充到有理数集 11边长为边长为1的正方形的对角线长的正方形的对角线长度为多少?度为多少?无理数毕达哥拉斯毕达哥拉斯毕达哥拉斯毕达哥拉斯(约公元前约公元前约公元前约公元前560480560480年)年)年)年)无理数是“推”出来的.公元前六世纪,古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理,发现了“无理数”.“无理数”的承认(公元前4世纪)
3、是数学发展史上的一个里程碑.数集扩充到实数集数集扩充到实数集 实数集能否继续扩充呢?正数与负数,有理数与无理数,都是具有“实际意义的量”,称之为“实数”,构成实数系统.实数系统是一个没有缝隙的连续系统.历史回顾历史回顾 1545年,卡尔丹在年,卡尔丹在大衍术大衍术中写道:中写道:“要把要把10分成两部分,使二者乘积为分成两部分,使二者乘积为40,这是不可能的,不过我却用下列方式,这是不可能的,不过我却用下列方式解决了解决了.”能作为能作为“数数”吗?它表示什么吗?它表示什么意义呢?意义呢?虚数虚数虚数虚数是“算”出来的.1637年,法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”(“想象中(imagin
4、ary)的数”).笛卡尔笛卡尔(R.Descartes,1596-1661)数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念知识引入知识引入知识引入知识引入对于一元二次方程对于一元二次方程 没有实数根没有实数根我们已知知道:我们已知知道:我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?集中,该问题能得到圆满解决呢?思考思考?引入一个新数:引入一个新数:满足满足满足满足数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念 现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数 i,把把 i 叫做虚数单位,叫做虚数单位,并且规定:并且规定:(1)i21;(2)实数可
5、以与实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算率算时,原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结包括交换率、结合率和分配率合率和分配率)仍然成立。仍然成立。形如形如a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做复数集复数集,一般用字母一般用字母C表示表示.数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念实部实部实部实部复数的代数形式:复数的代数形式:通常用字母通常用字母 z 表示,即表示,即虚部虚部虚部虚部其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。复数集复数集C C和实数集和实数集R R之间有什么关系?之间有
6、什么关系?讨论讨论?复数复数a+bia+bi数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念复数集,虚数集,实数集,复数集,虚数集,实数集,纯虚数集之间的关系?纯虚数集之间的关系?思考?思考?复数集复数集复数集复数集虚数集虚数集虚数集虚数集实数集实数集实数集实数集纯虚数集纯虚数集纯虚数集纯虚数集数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数,说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数,并指出复数的实部与虚部。哪些是纯虚数,并指出复数的实部与虚部。5 +8,0 02 2、判断下列命题是否正确:、判断下列命题是否正确:(1 1)若)若a a、b b为实数,则为实数
7、,则Z=a+biZ=a+bi为虚数为虚数(2 2)若)若b b为实数,则为实数,则Z=biZ=bi必为纯虚数必为纯虚数(3 3)若)若a a为实数,则为实数,则Z=aZ=a一定不是虚数一定不是虚数数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念例例1 实数实数m取什么值时,复数取什么值时,复数 是(是(1)实数?)实数?(2)虚数?)虚数?(3)纯虚数?)纯虚数?解解:(1)当当 ,即,即 时,复数时,复数z 是实数是实数(2)当当 ,即,即 时,复数时,复数z 是虚数是虚数(3)当当即即 时,复数时,复数z 是是纯虚数纯虚数练习练习:当当m m为何实数时,复数为何实数时,复数 是是 (1 1)实数)
8、实数 (2 2)虚数)虚数 (3 3)纯虚数)纯虚数数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念则我们知道若我们知道若如何定义两个复数的相等?如何定义两个复数的相等?注意注意:一般对两个复数只能说相等或不相等;:一般对两个复数只能说相等或不相等;不能比较大小不能比较大小。00 如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相等,那分别相等,那么我们就说这两个么我们就说这两个复数相等复数相等数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念复数不能比较大小的一种解释复数不能比较大小的一种解释(1 1)如果)如果i i0 0,那么那么i ii i0 0i i,即即-1-10 0。(2 2)如果)如果i0,
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