(完整版)全等三角形习题集选(含答案解析).pdf
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1、经典三角形证明题选讲(含答案)经典三角形证明题选讲(含答案)三角形辅助线做法线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验1.1.已知:已知:AB=4AB=4,AC=2AC=2,D D 是是 BCBC 中点,中点,ADAD 是整数,求是整数,求 ADADABDC1.1.证明:延长证明:延长 ADAD 到到 E,E,使使 DE=AD,DE=AD,则则 ADCADC EBDEBD BE=AC=2BE=AC=2在在 ABEABE 中中,AB-BEAEAB+BE,AB-BEAEAB+BE,10-22AD10+2 4AD610-22AD10+2 4AD6又又 ADAD 是整数是整数,则则
2、 AD=5AD=5思路点拨:三角形中有中线,延长中线等中线思路点拨:三角形中有中线,延长中线等中线。2.2.已知:已知:BC=DEBC=DE,B=B=E E,C=C=D D,F F 是是 CDCD 中点,求证:中点,求证:1=1=2 2A21BECFD2.2.证明:连接证明:连接 BFBF 和和 EF.EF.BC=ED,CF=DF,BC=ED,CF=DF,BCF=BCF=EDFEDF BCFBCF EDF(EDF(边角边边角边).).BF=EF,BF=EF,CBF=CBF=DEF.DEF.连接连接 BE.BE.在在 BEFBEF 中中,BF=EF,BF=EF,EBF=EBF=BEFBEF 又又
3、 ABC=ABC=AEDAED,ABE=ABE=AEB.AEB.AB=AEAB=AE在在 ABFABF 和和 AEFAEF 中,中,AB=AE,BF=EF,AB=AE,BF=EF,ABF=ABF=ABE+ABE+EBF=EBF=AEB+AEB+BEF=BEF=AEF.AEF.ABFABF AEFAEF 1=1=2.2.思路点拨:思路点拨:解答本题的关键是能够想到证明解答本题的关键是能够想到证明 AB=AE,AB=AE,而而 ABAB、AEAE 在同一个在同一个 ABEABE中,可利用中,可利用 ABE=ABE=AEBAEB 来证明来证明.同一三角形中线段等,可用等角对等边同一三角形中线段等,可
4、用等角对等边3.3.已知:已知:1=1=2 2,CD=DECD=DE,EF/ABEF/AB,求证:,求证:EF=ACEF=AC证明:证明:过过 E E 点,作点,作 EG/ACEG/AC,交,交 ADAD 延长线于延长线于 G GA12FCDEB则则DEG=DEG=DCADCA,DGE=DGE=2 2又又CD=DECD=DEADCADCGDEGDE(AASAAS)EG=ACEG=AC EFEF ABABDFE=DFE=1 11=1=2 2DFE=DFE=DGEDGE EF=EGEF=EG EF=ACEF=AC思路点拨:角平分线平行线,等腰三角形来添。思路点拨:角平分线平行线,等腰三角形来添。4
5、.4.已知:已知:ADAD 平分平分BACBAC,AC=AB+BDAC=AB+BD,求证:,求证:B=2B=2 C C证明:证明:延长 AC 到 E 使 CE=CD,连接 ED,则CDE=E AB=AC+CDAB=AC+CE=AE又BAD=EAD,AD=ADBADEADB=EACB=E+CDE,ACB=2B方法二方法二在在 ACAC 上截取上截取 AE=ABAE=AB,连接,连接 EDED ADAD 平分平分BACBACEAD=EAD=BADBAD又又AE=ABAE=AB,AD=ADAD=ADAEDAEDABDABD(SASSAS)AED=AED=B B,DE=DBDE=DB AC=AB+BD
6、AC=AB+BD,AC=AE+CEAC=AE+CE CE=DECE=DEC=C=EDCEDCAED=AED=C+C+EDC=2EDC=2 C CB=2B=2 C C思路点拨:线段等于线段和,理应截长或补短思路点拨:线段等于线段和,理应截长或补短5.已知:AC 平分BAD,CEAB,B+D=180,求证:AE=AD+BE证明:过证明:过 C C 作作 CFCFAD 交 AD 的延长线于 F.在 CFACFA和和CEACEA 中中CFACFACEACEA9090又又CAFCAFCAECAE,AC=ACAC=ACCFACFACEACEA,AEAEAFAFADADDFDF,CE=CFCE=CFB BA
7、DCADC180180,FDCFDCADCADC180180 B BFDCEFDCE在 CEBCEB 和和CFDCFD 中中,CE=CF,CE=CF,CEBCEBCFDCFD9090,B BFDCEFDCECEBCEBCFDCFD BEBEDFDF AEAEADADBEBECDBA思路点拨:图中有角平分线,可向两边作垂线。思路点拨:图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关也可将图对折看,对称以后关系现系现6.如图,四边形 ABCD 中,ABDC,BE、CE分别平分ABC、BCD,且点 E 在 AD 上。求证:BC=AB+DC。证明证明:在在 BCBC 上截取上截取 BF=BA
8、,BF=BA,连接连接 EF.EF.ABE=ABE=FBE,BE=BE,FBE,BE=BE,ABEABEFBE(SAS),FBE(SAS),EFB=EFB=A;A;ABABCD,CD,A+A+D=180D=180;又又EFB+EFB+EFC=180EFC=180,EFC=EFC=D;D;又又FCE=FCE=DCE,CE=CE,DCE,CE=CE,FCEFCEDCE(AAS),FC=CD.DCE(AAS),FC=CD.BC=BF+FC=AB+CD.BC=BF+FC=AB+CD.思路点拨:线段等于线段和,理应截长或补短思路点拨:线段等于线段和,理应截长或补短法二:法二:延长延长 BEBE 交交 C
9、DCD 的延长线于点的延长线于点 F F,易证,易证 BC=FC=FD+DCBC=FC=FD+DC又又BCE=BCE=FCEFCE BE=FE;BE=FE;易证易证ABEABEDFEDFE AB=FDAB=FD BC=AB+DCBC=AB+DC法三:法三:易证易证BEC=90BEC=90,取取 BCBC 中点中点 F F,连接,连接 EF,EF,则则EF BC BF;FEB=FEB=FBE=FBE=ABEABE ABABEFEF 同理同理 DCDCEFEF又又F F 为为 BCBC 中点中点 E E 为为 BCBC 中点中点 EF(AB DC)BC=AB+DCBC=AB+DC思路点拨:思路点拨
10、:三角形两边有中点,连接可得中位线三角形两边有中点,连接可得中位线。梯形一腰有中点,亦可尝试中位线梯形一腰有中点,亦可尝试中位线法四:过法四:过 E E 作作 EF/ABEF/AB 交交 BCBC 于点于点 F,F,则则FEB=FEB=ABE=ABE=FBEFBE1212121又又EF/AB/DCEF/AB/DC AE=EDAE=ED EF(AB DC)2 EF=BF,EF=BF,同理同理 EF=CF,EF=CF,BF=CF,BF=CF,EF=EF=BC BC=AB+DCBC=AB+DC思路点拨:思路点拨:角平分线平行线,等腰三角形来添。7.7.已知:已知:AB/EDAB/ED,EAB=EAB
11、=BDEBDE,AF=CDAF=CD,EF=BCEF=BC,求证:,求证:F=F=C C证明:连接证明:连接 BEBE ABAB ED,ED,ABE=ABE=DEBDEB又又EAB=EAB=BDE,BE=EBBDE,BE=EBABEABEDEBDEB,AE=DBAE=DB又又AF=CD,EF=BCAF=CD,EF=BCAFEAFEDCBDCB,C=C=F F8如图,在ABC中,BD=DC,1=2,求证:ADBC证明:延长证明:延长 ADAD 至至 HH 交交 BCBC 于于 H;H;BD=DCBD=DC,DBC=DBC=DCBDCB1=1=2 2,DBC+DBC+1=1=DCB+DCB+2;2
12、;即即ABC=ABC=ACBACB,AB=ACAB=ACABDABDACDACD,BAD=BAD=CADCAD ADADBCBC思路点拨:思路点拨:中线、垂线、角平分线,三线合一试试看。9如图,OM平分POQ,MAOP,MBOQ,A、B为垂足,AB交OM于点N求证:OAB=OBAA AB BF FC CE ED D证明:证明:OMOM 平分平分POQPOQ,MAMAOPOP,MB,MBOQOQ MA=MBMA=MBMAB=MAB=MBAMBAOAM=OAM=OBM=90OBM=90 度度OAB=90-OAB=90-MABMAB,OBA=90-OBA=90-MBAMBAOAB=OAB=OBAOB
13、A思路点拨:同一三角形中角相等,可用等边对等角思路点拨:同一三角形中角相等,可用等边对等角10 已知:已知:BC=DEBC=DE,B=B=E E,C=C=D D,F F 是是 CDCD 中点,求证:中点,求证:AFAFCDCDABECFD证明:证明:同同 2 2 先证出先证出 AB=AE,AB=AE,然后连接然后连接 ACAC、AD,AD,再证明再证明 ABCABCAEDAED,从而,从而 AC=AD,AC=AD,又又F F 是是 CDCD 的中点,的中点,AFAFCDCD11.如图,在ABC 中,已知 AB=AC,1=2,求证:BD=DC证明:证明:AB=AC ABC=ACB又又 1=2 D
14、BC=DCB BD=DC1212(改编)(改编)如图,在 ABC 中,已知 AB=AC,ADB=ADC,求证:BD=DC提示:将 ADB绕点 A 逆时针旋转 BAC 得 AEC,连接 DE,可证出 CDE=CED从而 CD=CE=BD思路点拨:思路点拨:当题中出现当题中出现等腰三角形等腰三角形时,时,可以考虑用旋转的方法打开思路,可以考虑用旋转的方法打开思路,添加辅添加辅助线。特别是题中有助线。特别是题中有正方形、等边三角形、等腰直角三角形正方形、等边三角形、等腰直角三角形时时,更是如此,更是如此1313 如图,如图,E E、F F分别为线段分别为线段ACAC上的两个动点,上的两个动点,且且D
15、EDEACAC于于E E,BFBFACAC于于F F,若若ABAB=CDCD,AFAF=CECE,BDBD交交ACAC于点于点M M(1 1)求证:)求证:MBMB=MDMD,MEME=MFMF(2 2)当)当E E、F F两点移动到如图的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立两点移动到如图的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由请给予证明;若不成立请说明理由(1 1)证明:连接)证明:连接 BEBE,DFDF DEDEACAC 于于 E E,BFBFACAC 于于 F F,DEC=DEC=BFA=90BFA=90,DEDE BFBF,在在 RtR
16、t DECDEC 和和 RtRt BFABFA中,中,AF=CEAF=CE,AB=CDAB=CD,RtRt DECDEC RtRt BFABFA,DE=BFDE=BF四边形四边形 BEDFBEDF 是平行四边形是平行四边形 MB=MDMB=MD,ME=MFME=MF;(2 2)解:上述结论仍然成立证明如下:)解:上述结论仍然成立证明如下:连接连接 BEBE,DFDF DEDEACAC 于于 E E,BFBFACAC 于于 F F,DEC=DEC=BFA=90BFA=90,DEDE BFBF,在在 RtRt DECDEC 和和 RtRt BFABFA中,中,AF=CEAF=CE,AB=CDAB=
17、CD,RtRt DECDEC RtRt BFABFA,DE=BFDE=BF四边形四边形 BEDFBEDF 是平行四边形是平行四边形 MB=MDMB=MD,ME=MFME=MF本题也可以用证明两次三角形全等的方法本题也可以用证明两次三角形全等的方法1414已知:如图,已知:如图,DCDC ABAB,且,且DCDC=AEAE,E E为为ABAB的中点,的中点,(1 1)求证:)求证:AEDAEDEBCEBCA(2 2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除)观看图前,在不添辅助线的情况下,除EBCEBC外,请再写外,请再写EOD出两个与出两个与AEDAED的面积相等的三角形的面积相等的三角形(直接写出
18、结果,不要求证(直接写出结果,不要求证明)明):BC(1)(1)证明:证明:DCDC AEAE,且,且 DC=AEDC=AE,四边形,四边形 AECDAECD 是平行四边形。于是平行四边形。于是知是知 AD=ECAD=EC,且,且EAD=EAD=BECBEC。由。由 AE=BEAE=BE,AEDAEDEBCEBC。(2 2)解:)解:AECAEC、ACDACD、ECDECD 都与都与AEDAED面积相等。面积相等。1515如图,如图,ABCABC中,中,BACBAC=90=90 度,度,ABAB=ACAC,BDBD是是ABCABC的平分线,的平分线,BDBD的延长线垂的延长线垂直于过直于过C
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