八年级数学上册专题突破讲练三角形的内外角关系试题青岛版(2021-2022学年).pdf
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1、三角形的内外角关系三角形的内外角关系一、三角形的内角和定理一、三角形的内角和定理1.定理:三角形的内角和是 180要点:定理的证明根据是平行线的性质.定理的证明方法有多种,选取以下两种方法加以掌握。证明方法证明方法把三个角“凑”到处,过点A延长 BC 到 D,过点 C 作射作直线 Q/BC,这样就相当于把线 CE/BA,这样就相当于把B 移到了1 的位置,把C 移到A 移到了1 的位置,把了的位置。推论:直角三角形的两个锐角互余.移到了2 的位置。+B+C=180又C=90 A=0 与互余。等边三角形的每一个内角都是0。+0,又D=F,3D10,D=E=F6定理的应用:定理的应用:在三角形中,
2、已知两个内角可以求出第三个内角。如:在A中,=18-(AB)在三角形中,已知三个内角和的比或它们之间的关系,求各内角。如:在ABC 中,已知A:C=:4,则可设A、B、C 为 2x、x、,利用方程求得度数。二、三角形的外角二、三角形的外角1。外角的定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角。叫做三角形的外角。如如ACDACD 与与BCEBCE 均为外角。均为外角。.三角形外角的性质()三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。(2)(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。三角形的一个
3、外角大于任何一个与它不相邻的内角。提示:提示:三角形每个顶点处有两个外角,它们是对顶角,所以三角形共有六个外角。通常每个顶点处取一个外角,因此,我们常说三角形有三个外角。因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角,由三角形的内角和是 180,可推出三角形的外角和是 360。三、三角形的外角与内角的关系三、三角形的外角与内角的关系1。三角形的一个外角与它相邻的内角互补,互补,如图:与4 是邻补角,即14=180;2。三角形的一个外角等于等于与它不相邻的两个内角的和,如图:=2+3;.三角形的一个外角大于大于与它不相邻的任何一个内角,如图:12,13。【拓展】【拓展】(1)对顶三角形对顶三角形:有
4、一个角是对顶角的两个三角形。特点是:每个三角形中除对顶角外,另两个角的和与另一个三角形中其两种图形两种图形的认识的认识余两个角的和相等。如图:D+E(2)图形的折叠图形的折叠:将图形沿某条线折叠,使其一部分与图形中某部分重合,可以形成边、角等多个相等关系。如图:1=3方法归纳方法归纳:三角形的内、外角关系的知识点应注意以下几点:三角形的内、外角关系的知识点应注意以下几点:(1)实际应用中,题目中往往把A+C=180这个条件隐藏,要时时注意想到这个条件。()外角关系强调的是“不相邻三个字,不要被题目偷换概念。(3)应用三角形的内、外角关系解题时,经常要使用到高、角平分线,注意二者定义中,高有垂直
5、的结论,即有角是,角平分线的作用是将一个角平分成两个相等的角,1有2角的数值存在。()三角形的内角和定理和三角形的外角的性质是求角度及与角有关的推理论证时常使用的理论依据,另外,在证明角的不等关系时也常想到外角的性质。技巧归纳:技巧归纳:解决本部分习题时要注意几种数学思想的应用:方 程 的 思根据角与角之间的关系求角的度如::=1:2:3,想数时可列方程(或方程组)求解.求三角形的形状。如:A=,求34B+的度数。整 体 运 用的思想将待解决的问题看作一个整体,通过研究问题做整体处理后,达到解决问题的目的。求较复杂的图形中多个角的度数转 化 的 思想和的问题。解题的关键是利用有关性质把这些角集
6、中到一个三角如:求五角星的内角和问题。形中,再利用三角形内角和的性质解决.总结:总结:1.学会综合运用内、外角关系解决图形的角度计算问题。2.将各种解题思想及方法掌握好,有利于今后几何的学习。例题例题 1 1如图,将三角尺的直角顶点放在直线a上,ab,1=5,26,则3 的度数为()。50.60 C。70 D80解析解析:先根据三角形的内角和定理求出 4 的度数,由对顶角的性质可得出 5 的度数,再由平行线的性质即可得出结论.答案答案:在BCD中,1=5,2=6,4=1812=1050-60=70,5=70,ab,3=5=70。故选.点拨:点拨:本题考查的是平行线的性质、三角形的内角和定理。解
7、答此类题目时往往用到三角形的内角和是 180这一隐藏条件例题例题如图,在AC 中,AB0,沿 CD 折叠BD,使点 B 恰好落在 AC边上的点 E 处。若A22,则BDC 等于()A。44 。60 C。67 D.77解析解析:由BC 中,ACB=90,A22,可求得B 的度数由折叠的性质可得:CE=B=,BCC。由三角形外角的性质,可求得DE 的度数,继而求得答案。答案:答案:在ABC 中,CB=0,A22,B=0,由折叠的性质可得:C=B68,BDC=EDC,ADECD6,BC故选 C。点拨点拨:此题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理以及三角形外角的性质。此题注意掌握折叠前后图形的对应关系
8、,以及数形结合思想的应用。=67。1 1几何图形变换的研究几何图形变换的研究几何图形的变换,核心内容是首图形的证明基本思路,变换后的图形与首图形的总体证明方法相同.但要注意的是这种题中所蕴含的数学思想:通过变换掌握举一反三的能力,将知识学活、用活.通过变换,提高面对试题的研读能力,从而做到一会百会。()充分分析首图形的条件,在此基础上将其应用到后面的图形中;(2)在变换时,认清本质,对变换后的结果依照首图形结论加以书写,注意与第一个结论保持格式上的一致,避免评卷老师的误判.(3)注意变换后,结论的变与不变:基本规律是线段与角相等的一般来说结论都会不变,但和、差类的变换最后其结论都会发生变化。例
9、题例题如图所示,在B中,A,AC 的内角平分线和外角平分线交于点 P,且P=,试探求下列各图中 与 的关系,并选择一个加以说明。解析解析:本题没有给出具体角度,所以最后形成的将是一个关系式。主要考查角平分线的1定义、三角形的内角和定理以及外角的性质,分析可知图(1)=92;(2)、()变换后图形道理类似,但过程略有不同,可参考(1)应用的定理加以说明.答案答案:111解:(1)902;(2)=2;(3)=02选择(1)进行证明。在图()中,根据三角形的内角和定理可得:ABB=180-A。B与 C是AB的角平分线,11PBC=2AB,PCB2ACB,11PB+PC=2(ABC+)021在PBC
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