《机械振动原理》PPT课件.ppt
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1、第第5章章 机械振动机械振动 振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动本章介绍人们易感知的本章介绍人们易感知的机械振动机械振动。广义振动:广义振动:任一物理量任一物理量(如位移、电流等如位移、电流等)在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。机械振动:机械振动:物体在一定位置附近作来回往复的运动。物体在一定位置附近作来回往复的运动。如:如:物体在摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。物体在摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。5.1简谐振动的描述简谐振动的描述5.2 简谐振动的合成简谐振动的合成5.3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动5.4 非
2、线性振动简介非线性振动简介 本章内容:本章内容:第第5章章 机械振动机械振动一、简谐振动一、简谐振动 弹簧振子:弹簧弹簧振子:弹簧 物体系统物体系统 平衡位置:平衡位置:弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧轻弹簧质量忽略不计质量忽略不计物体物体可看作质点可看作质点 5.1 简谐振动的描述简谐振动的描述1.受力特点受力特点2.动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程其中其中 为为 固有频率固有频率其通解为:其通解为:3.简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程振动方程振动方程速度方程速度方程加速度方程加速度方程2 2、平衡位置是指、平衡位
3、置是指合外力为零的位置合外力为零的位置。1 1、物体发生振动的条件:物体受到始终指向平衡位置、物体发生振动的条件:物体受到始终指向平衡位置 的的回复力回复力;物体具有;物体具有惯性惯性。说明:说明:3 3、判断物体是否作简谐振动的依据、判断物体是否作简谐振动的依据:(1 1)物体所受的合外力与位移物体所受的合外力与位移正比但反向正比但反向;(2 2)满足位移与时间有)满足位移与时间有余弦余弦(或正弦)关系。(或正弦)关系。4 4、简谐振动位移、速度、加速度都随时间、简谐振动位移、速度、加速度都随时间t做周期性变化。做周期性变化。5 5、任何振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。、任何振动都
4、可看成若干不同频率的简谐振动的合成。二、简谐振动的参量二、简谐振动的参量振幅振幅 A:简简谐谐振振动动物物体体离离开开平平衡衡位位置置的的最最大大位位移移(或或角角位位移)的绝对值。移)的绝对值。频率频率:角频率角频率 :周期周期T T:物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。弹簧振子:弹簧振子:单摆:单摆:固有固有周期周期、固有、固有频率频率、固有、固有角频率角频率附:单摆角频率及周期的推导:附:单摆角频率及周期的推导:结论:结论:单摆的小角度摆动振动是简谐振动。单摆的小角度摆动振动是简谐振动。摆球摆球对对 C 点的力矩点的力矩转动
5、定律转动定律:令令则则比较弹簧振子与单摆的共同特征:比较弹簧振子与单摆的共同特征:力或力矩的大小与质点的位置坐标或角坐标成力或力矩的大小与质点的位置坐标或角坐标成正比并反向正比并反向。月月有有阴阴晴晴圆圆缺缺,月相变化图月相变化图人人有有悲悲欢欢离离合合,此此事事古古难难全全。相位:相位:(1)(t +)是是 t 时刻的时刻的相位相位(2)是是 t=0 时刻的相位时刻的相位 初相初相但但愿愿人人长长久久,千千里里共共婵婵娟娟。相位的意义相位的意义:相位确定了振动的状态相位确定了振动的状态相位每改变相位每改变 2 振动重复一次振动重复一次,相位在相位在 2 范围内范围内变化变化,状态不重复状态不
6、重复.相位差相位差 同相和反相同相和反相(同频率振动同频率振动)当当 =2k 两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相。当当 =(2k+1)两振动步调相反两振动步调相反,称称反相反相。xto同相同相Tx1A1x2A2xto反相反相Tx1A1x2 A2 超前和落后超前和落后若若 =2-1 0,则则 称称 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后 )。由初始条件求振幅和初相位由初始条件求振幅和初相位 t xOA1-A1x1-A2A2x2相位差相位差 小结:小结:1.1.当当=2 2k ,k =0,1,2=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相2.2.当当=(
7、2(2k+1)+1),k =0,1,2.=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反,称称反相反相.2 超前于超前于1 或或 1滞后于滞后于 2 相位差反映了两个振动不同程度的参差错落。相位差反映了两个振动不同程度的参差错落。3.底面积为底面积为S的长方体木块的长方体木块m浮于水面,水面下浮于水面,水面下a,用手按下,用手按下x 后后释放,证明木块运动为谐振动,并计算其振动周期。释放,证明木块运动为谐振动,并计算其振动周期。任意位置任意位置x处,合力处,合力例例证明:证明:木块平衡时木块平衡时此合力为回复力:此合力为回复力:例例已知已知A=0.12m,T=2s,一物体沿一物体沿x轴作简谐振动,振
8、幅为轴作简谐振动,振幅为0.12m,周期为,周期为2s。当。当t=0时,位移为时,位移为0.06m,且,且向向x轴正方向运动轴正方向运动。求求(1)初相;初相;(2)t=0.5s时,物体的位置、速度和加速度;时,物体的位置、速度和加速度;(3)在在x=-0.06m处,且向处,且向x轴负方向轴负方向运动。物体从这一状态运动。物体从这一状态回到平衡位置的最短时间。回到平衡位置的最短时间。解解(1)设其运动方程为设其运动方程为则速度和加速度分别为则速度和加速度分别为当当t=0时,时,(2)当当t=0.5s时时(3)由于三角函数具有周期性,取第一个周期即可。设当物体由于三角函数具有周期性,取第一个周期
9、即可。设当物体在在0.06m,且向,且向x轴负向方向运动对应的时刻为轴负向方向运动对应的时刻为t1,平衡位置对平衡位置对应的时刻为应的时刻为t2,则则如图如图 m=210-2 kg,弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm;t=0时,时,x0=9.8cm,v0=0 确定平衡位置:确定平衡位置:mg=k l 取为原点取为原点 令向下有位移令向下有位移 x,则回复力则回复力XOxm例例求求(1)取开始振动时为计时零点,写出振动方程;)取开始振动时为计时零点,写出振动方程;(2)若取)若取 x0=0,v0 0为计时零点为计时零点,写出振动方写出振动方 程,并计算振动频率。程,并计算振动频率。
10、解解该振动为简谐振动,则该振动为简谐振动,则由初始条件得由初始条件得由由x0=0.098m知知振动方程为:振动方程为:(2)按题意按题意 t=0 时时 x0=0,v0 0对同一谐振动计时起点不同对同一谐振动计时起点不同,不同,但不同,但、A不变不变固有频率固有频率XOxm(1)试证明物体试证明物体m的运动是谐振动;的运动是谐振动;(2)求此振动系统的振动周期;求此振动系统的振动周期;(3)写出振动方程。写出振动方程。轻质弹簧一端固定,另一端系一轻绳,绳过定滑轮挂一质量为轻质弹簧一端固定,另一端系一轻绳,绳过定滑轮挂一质量为m的物体。弹簧的劲度系数为的物体。弹簧的劲度系数为k,滑轮的转动惯量为,
11、滑轮的转动惯量为J,半径为,半径为R。若物体。若物体m在其初始位置时弹簧无伸长,然后由静止释放。在其初始位置时弹簧无伸长,然后由静止释放。(1)若物体若物体m离开初始位置的距离为离开初始位置的距离为b时受力平衡,则此时有时受力平衡,则此时有以此平衡位置以此平衡位置O为坐标原点为坐标原点,竖直向下,竖直向下为为x轴正向,当物体轴正向,当物体m在坐标在坐标x处时处时,由,由牛顿运动定律牛顿运动定律和和定轴转动定律定轴转动定律有有例例求求解解联立式联立式解得解得所以,此振动系统的运动是谐振动所以,此振动系统的运动是谐振动.即即(2)由上面的表达式知,此振动系统的角频率由上面的表达式知,此振动系统的角
12、频率故振动周期为故振动周期为 振动系统的振动方程为振动系统的振动方程为(3)依题意知依题意知t0时时,可求出三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 t=0 x t+t=tox在在y轴上的投影描述轴上的投影描述电振动电振动。在在x轴上投影描述轴上投影描述机械振动机械振动;习惯上习惯上用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系 同相同相反相反相谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系a vTxtoT/4T/4由图可见:由图可见:x t+o 超前超前超前超前例例由图可知由图可知求求一物体沿一物体沿 X 轴作简谐振动,振幅为轴作简谐振动,振幅
13、为0.12m,周期为,周期为2s。当。当t=0时,位移为时,位移为 0.06m,且向,且向 x 轴正方向运动。轴正方向运动。(2)在)在x=-0.06m处,且向处,且向 x 轴负向轴负向方向运动时,物体从方向运动时,物体从 这一位置回到平衡位置所需的最短时间这一位置回到平衡位置所需的最短时间 (1)初相;)初相;(1)根据题义作图如下根据题义作图如下解解(2)所转角度所转角度MONMN例例如图所示,一质点作简谐振动,在一个周期内相继通过距如图所示,一质点作简谐振动,在一个周期内相继通过距离为离为12cm的两点的两点E和和F,历时,历时2s,并且在,并且在E,F两点处具有两点处具有相同的速率相同
14、的速率;再经过;再经过2s后,质点又从另一方向通过后,质点又从另一方向通过F点。点。解解EFOx质点运动的周期和振幅。质点运动的周期和振幅。求求由题意可知,由题意可知,EF的中点为平衡位置的中点为平衡位置,周期为,周期为T=4 2=8(s)设平衡位置为坐标原点,则设平衡位置为坐标原点,则设设 t=0 时,质点位于平衡位置,且向时,质点位于平衡位置,且向 x 轴正方向运动,轴正方向运动,则由旋转矢量可知:则由旋转矢量可知:t=1 时时,质点位于质点位于F点点,所以所以已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示.例例求求 振动方程。振动方程。解解 用旋
15、转矢量法辅助求解用旋转矢量法辅助求解:v的旋转矢量与的旋转矢量与v轴夹角表示轴夹角表示t 时刻相位时刻相位由图知由图知以弹簧振子为例以弹簧振子为例某一时刻,谐振子速度为某一时刻,谐振子速度为v,位移为位移为x四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量机械能机械能(简谐振动系统机械能守恒)(简谐振动系统机械能守恒)一个与时间有关的物理量一个与时间有关的物理量F(t)在时间间隔在时间间隔T 内的平均值内的平均值定义为定义为:则:则:谐振动在一周期内的平均动能和平均势能相等。谐振动在一周期内的平均动能和平均势能相等。由起始能量求振幅由起始能量求振幅EptoETxotEk动动能能势势能能情况同动能情况同动能
16、机机械械能能简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒(1 1)E1 1/4/4;(2 2)E1 1/2/2;(3 3)2 2E1 1;(4 4)4 4E1 1。一弹簧振子作简谐振动,总能量为一弹簧振子作简谐振动,总能量为E1 1,如果谐振动的,如果谐振动的振幅增加为原来的两倍,重物的质量增加为原来的振幅增加为原来的两倍,重物的质量增加为原来的4倍,倍,则其总能量将变为则其总能量将变为课堂练习:课堂练习:一、同频率同方向简谐振动的合成一、同频率同方向简谐振动的合成分振动分振动:合振动合振动:结论:结论:合振动合振动 x 仍是简谐振动仍是简谐振动5.2 简谐振动的合成简谐振动的合成合振动是简谐
17、振动合振动是简谐振动,其频率仍为其频率仍为 合振动合振动 :旋转矢量法处理谐振动的合成旋转矢量法处理谐振动的合成若若 A1=A2,则则 A=0讨论:讨论:若两分振动同相:若两分振动同相:若两分振动反相若两分振动反相:合振动加强合振动加强合振动减弱合振动减弱(1 1)0 0;(2 2)4cm4cm;(4 4)8 cm8 cm。两个同方向同频率的谐振动,振动方程分别为两个同方向同频率的谐振动,振动方程分别为则其合振动的振幅为谐振动则其合振动的振幅为谐振动,振幅为:振幅为:课堂练习:课堂练习:(3 3);二、同方向不同频率谐振动的合成二、同方向不同频率谐振动的合成 1.分振动分振动:2.合振动合振动
18、:当当 时时,当当 时,时,合振动振幅的频率为合振动振幅的频率为:A 有最大值有最大值A有最小值有最小值结论:结论:合振动可看作合振动可看作振幅缓变的简谐振动振幅缓变的简谐振动拍拍:合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍频拍频:单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =|2 2-1 1|xt tx2t tx1t t3.拍的现象:拍的现象:2.当当 时:时:消去参数消去参数 t 得轨迹方程得轨迹方程分振动分振动三、同频率互相垂直的简谐振动的合成三、同频率互相垂直的简谐振动的合成1.当当 时:时:质点沿椭圆的运动方向是质点沿椭圆的运动方向是顺时针顺时针的。的。3.当当 时:时:4.当
19、当 时:时:质点沿椭圆的运动方向是质点沿椭圆的运动方向是逆时针逆时针的。的。=0 =/2 =3/4 =/4 =5/4 =3/2 =7/4时,逆时针方向转动。时,逆时针方向转动。时,顺时针方向转动。时,顺时针方向转动。=相互垂直、相互垂直、频率相同频率相同的两列谐振的合振动轨迹有如下规律的两列谐振的合振动轨迹有如下规律:(1)(1)一般情况下轨迹为一般情况下轨迹为椭圆椭圆;(2)(2)时时,退化为退化为直线直线;(3)(3)时时,为正椭圆为正椭圆,若若A A1 1=A A2 2,则退化则退化 为为圆圆.(4)椭圆轨迹椭圆轨迹内切于内切于边长为边长为2 2A A1 1和和2 2A A2 2的的矩形
20、矩形;(5)(5)时时,椭圆椭圆顺时针方向转顺时针方向转;椭圆椭圆逆时针方向转逆时针方向转.当两列相互垂直、频率成整数比关系的简谐当两列相互垂直、频率成整数比关系的简谐振动合成时,合振动的轨迹是闭合的,运动是周振动合成时,合振动的轨迹是闭合的,运动是周期性的,这些图形称为期性的,这些图形称为李萨如(李萨如(J.A.Lissajous J.A.Lissajous 1822-1880 1822-1880 法国)图形法国)图形。相互垂直但频率不同的简谐振动的合成相互垂直但频率不同的简谐振动的合成 x y2 13 13 2 x=0:y=0 y x0振幅随时间减小的振动叫振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。
21、阻尼振动。5.3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动一、一、阻尼振动阻尼振动形成阻尼振动的原因:形成阻尼振动的原因:振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用,造成热损耗;振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用,造成热损耗;振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。1.阻尼振动的微分方程阻尼振动的微分方程 粘滞阻力粘滞阻力弹性力弹性力(以液体中的水平弹簧振子为例以液体中的水平弹簧振子为例)弹性力弹性力:粘滞阻力粘滞阻力:牛顿第二定律:牛顿第二定律:(固有频率)(固有频率)(阻尼系数)(阻尼系数)(阻尼振动的微分方程)(阻尼振动的微分方程)(方程的解及其物理意义)(方程的解及其
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