2019高中数学 第一章第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用学案 新人教A版选修.doc
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1、1第第 2 2 课时课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用学习目标:1.进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理(重点)2.能根据具体问题的特征,选择两种计数原理解决一些实际问题(重、难点)3.会根据实际问题的特征,合理地分类或分步(难点、易混点)自 主 预 习探 新 知1分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系(1)联系:分类加法计数原理与分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题(2)区别:分类加法计数原理针对的是分类问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事分步乘法计数原理针对的是分步问
2、题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成之后才算做完这件事2应用两个计数原理解决计数问题的标准(1)分类要做到不重不漏,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数(2)分步要做到步骤完整,步与步之间要相互独立,根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘得到总数基础自测1判断(正确的打“” ,错误的打“”)(1)某校高一年级共 8 个班,高二年级共 6 个班,从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务,安排方法共有 14 种( )(2)在一次运动会上有四项比赛,冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有 43种( )(3)有三只口袋装有小球,一只装有 5 个
3、白色小球,一只装有 6 个黑色小球,一只装有7 个红色小球,若每次从中取两个不同颜色的小球,共有 36 种不同的取法( )解析 (1) 根据分类加法计数原理,担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级,也可以是高二年级,因此安排方法共有 8614(种)(2) 因为每个项目中的冠军都有 3 种可能的情况,根据分步乘法计数原理共有 34种不同的夺冠情况(3) 分为三类:一类是取白球、黑球,有 5630 种取法;一类是取白球、红球,有 5735 种取法;一类是取黑球、红球,有 6742 种取法所以由分类加法计数原理共有 303542107(种)不同的取法答案 (1) (2) (3)22从集合1,2,3,4
4、,5中任取 2 个不同的数,作为方程AxBy0 的系数A,B的值,则形成的不同直线有( )A18 条B20 条C25 条D10 条A A 第一步,取A的值,有 5 种取法;第二步,取B的值,有 4 种取法,其中当A1,B2 时与A2,B4 时是相同的方程;当A2,B1 时与A4,B2 时是相同的方程,故共有 54218 条3由 1,2,3,4 组成没有重复数字的三位数的个数为_. 【导学号:95032014】24 由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为 43224.4一个科技小组中有 4 名女同学,5 名男同学,从中任选一名同学参加学科竞赛,共有不同的选派方法_种;若从中任选一名女同学和
5、一名男同学参加学科竞赛,共有不同的选派方法_种9 20 由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共 549 种选派方法,由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共 5420 种选派方法合 作 探 究攻 重 难抽取与分配问题在 7 名学生中,有 3 名会下象棋但不会下围棋,有 2 名会下围棋但不会下象棋,另 2 名既会下象棋又会下围棋现在从这 7 人中选 2 人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法? 【导学号:95032015】思路探究 本题应先分类,再分步确定分类标准确定类数逐类分步计算结论解 法一:分四类:第 1 类,从 3 名只会下象棋的学生中
6、选 1 名参加象棋比赛,同时从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛,有选法 326(种);第 2 类,从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛,同时从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛,有选法 326(种);第 3 类,从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛,同时从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加象棋比赛,有选法 224(种);第 4 类,从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中各选 1 名分别参加象棋比赛和围棋比赛,有选法 212(种)故不同的选法共有 664218(种)3法二:分两类:第 1 类,从 3 名只会下象棋
7、的学生中选 1 名参加象棋比赛,这时 7 人中还有 4 人会下围棋,从中选 1 名参加围棋比赛有选法 3412(种)第 2 类,从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选一名参加象棋比赛,这时 7 人中还有 3 人会下围棋,从中选 1 名参加围棋比赛有选法 236(种)故不同的选法共有12618(种)规律方法 求解抽取(分配)问题的方法1当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法2当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:直接法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可跟踪训练13 个不同的小球
8、放入 5 个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种方法?解 法一:(以小球为研究对象)分三步来完成:第一步:放第一个小球有 5 种选择;第二步:放第二个小球有 4 种选择;第三步:放第三个小球有 3 种选择根据分步乘法计数原理得:共有方法数N54360.法二:(以盒子为研究对象)盒子标上序号 1,2,3,4,5,分成以下 10 类:第一类:空盒子标号为(1,2):选法有 3216(种);第二类:空盒子标号为(1,3):选法有 3216(种);第三类:空盒子标号为(1,4):选法有 3216(种);分类还有以下几种情况:空盒子标号分别为(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3
9、,4),(3,5),(4,5),共 10 类,每一类都有 6 种方法根据分类加法计数原理得,共有方法数N66660(种)组数问题用 0,1,2,3,4 这五个数字可以组成多少个无重复数字的:(1)四位密码?(2)四位数?(3)四位奇数? 【导学号:95032016】思路探究 (1)利用分步乘法计数原理;(2)数字“0”不能排在首位,先排首位,再用分步乘法计数原理;(3)注意到个位只能是“1 或 3” ,首位不能是“0” ,然后利用分步乘4法计数原理计算解 (1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事,可以分为四步:第一步,选取左边第一个位置上的数字,有 5 种选取方法;第二步,选取左边第二个位
10、置上的数字,有 4 种选取方法;第三步,选取左边第三个位置上的数字,有 3 种选取方法;第四步,选取左边第四个位置上的数字,有 2 种选取方法由分步乘法计数原理,可以组成不同的四位密码共有N5432120 个(2)直接法:完成“组成无重复数字的四位数”这件事,可以分四步:第一步,从 1,2,3,4 中选取一个数字作千位数字,有 4 种不同的选取方法;第二步,从 1,2,3,4 中剩余的三个数字和 0 共四个数字中选取一个数字作百位数字,有 4 种不同的选取方法;第三步,从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字,有 3 种不同的选取方法;第四步,从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字,有 2
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