2019高中数学 课时分层作业20 空间向量与空间角 新人教A版选修2-1.doc
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1、1课时分层作业课时分层作业( (二十二十) ) 空间向量与空间角空间向量与空间角(建议用时:40 分钟)基础达标练一、选择题1若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为 150,则l1与l2所成的角为( )A30 B150C30或 150D以上均不对A A l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补,且异面直线所成角的范围为.应选 A(0, 22已知二面角l的两个半平面与的法向量分别为a a,b b,若a a,b b,则二面角l的大小为( ) 3A B 32 3C或 D或 32 3 6 3C C 由于二面角的范围是0,而二面角的两个半平面与的法向量都有两个方向,因此二面角l的大小为或
2、,故选 C 32 33.如图 3227,空间正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )图 3227A B C D 6 4 3 2D D 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建系(图略),则,A1M(1,1 2,1)DN(0,1,1 2)cos, 0.A1MDNA1MDN|A1M|DN|2, .A1MDN 24已知在正四面体ABCD中,E为棱AD的中点,则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )【导学号:46342179】A B C D32231 233B B 作AO平面BCD于点O,则O是BCD的中心,以O为坐标原点,直
3、线OD为y轴,直线OA为z轴建立空间直角坐标系,如图所示设AB2,则O(0,0,0),A,C(0,0,2 63),E,(1,33,0)(0,33,63)OA(0,0,2 63)CE,cos, .CE与平面BCD的夹角的(1,2 33,63)OACEOACE|OA|CE|4 32 63323正弦值为.235如图 3228 所示,已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,且PA平面ABCD,PAADAC,点F为PC的中点,则二面角CBFD的正切值为( )图 3228A B C D3634332 33D D 如图所示,设AC与BD交于点O,连接OF.以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x
4、,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1,则BD,所以O(0,0,0),B,F,C3(32,0,0)(0,0,1 2)3,易知为平面BDF的一个法向量,由,(0,1 2,0)OC(0,1 2,0)OCBC(32,12,0)FB,可得平面BCF的一个法向量为n n(1, ,)所以 cosn n, (32,0,12)33OC,sinn n, ,所以 tann n, .故二面角CBFD的正切值为.217OC2 77OC2 332 33二、填空题6若直线l的方向向量a a(2,3,1),平面的一个法向量n n(4,0,1),则直线l与平面所成角的正弦值为_由题意,得直线l与平面所成角的正
5、弦值为.23834|a an n| |a a|n n|714 17238347已知点E,F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E2EB,CF2FC1,则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_如图,建立空间直角坐标系23设正方体的棱长为 1,平面ABC的法向量为n n1(0,0,1),平面AEF的法向量为n n2(x,y,z)所以A(1,0,0),E,F,(1,1,1 3)(0,1,2 3)所以,AE(0,1,1 3)EF(1,0,1 3)则Error!即Error!取x1,则y1,z3.故n n2(1,1,3)所以 cosn n1,n n2.n n1n n
6、2 | |n n1| | |n n2| |3 1111所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角满足 cos ,sin 3 1111,所以 tan .2211238如图 3229,正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直,则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为_. 【导学号:46342180】4图 3229取BC的中点O,连接AO,DO,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.155设BC1,则A,B,C,D,所以(0,0,32)(0,1 2,0)(0,1 2,0)(32,0,0)BA,.(0,1 2,32)BD(32,12,0)CD(32,12,0)设平面ABD的法向量为n n(x
7、,y,z),则Error!,所以Error!,取x1,则y,z1,所以n n(1,1),所以 cosn n, ,因此直线CD与平面33CD155ABD所成角的正弦值为.155三、解答题9.如图 3230,平面ABDE平面ABC,ABC是等腰直角三角形,ACBC4,四边形ABDE是直角梯形,BDAE,BDBA,BDAE2,O,M分别为CE,AB的中点1 2图 3230(1)求异面直角AB与CE所成角的大小;(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值解 (1)DBBA,平面ABDE平面ABC,平面ABDE平面ABCAB,DB平面ABDE,DB平面ABCBDAE,EA平面ABC如图所示,以C为坐标原
8、点,分别以CA,CB所在直线为x,y轴,以过点C且与EA平行的直线为z轴,建立空间直角坐标系5ACBC4,C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,4,0),E(4,0,4),(4,4,0),(4,0,4)ABCEcos, ,ABCE164 2 4 21 2异面直线AB与CE所成角的大小为. 3(2)由(1)知O(2,0,2),D(0,4,2),M(2,2,0),(0,4,2),(2,4,0),(2,2,2)CDODMD设平面ODM的法向量为n n(x,y,z),则由Error!,可得Error!,令x2,则y1,z1,n n(2,1,1)设直线CD与平面ODM所成的角为,则 sin |co
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